Suponga que V es un espacio vectorial sobre K, un subcuerpo de los números complejos (normalmente C o R). Un espacio localmente convexo es definido bien sea en términos de conjuntos convexos o equivalentemente en términos de seminorma.
Un subconjunto C en V se dice
- Convexo si para cada x e y en C, tx+(1–t) y esta en C para todo t en el intervalo unitario, tal que 0 ≤ t ≤ 1. En otras palabras, C contiene todos los segmentos de línea entre cualesquiera dos puntos en C.
- Redondeado si para todo x en C, λx está en C si |λ|=1. Si el cuerpo subyacente K son los números reales, lo que significa que C es igual a su reflexión a través del origen. Para un espacio vectorial complejo B esto significa que para cualquier x en C, C contiene la circunferencia que pasa por x, centrada en el origen, en el subespacio unidimensional complejo generado por x.
- Un Cono (cuando los cuerpos subyacentes están ordenados) si para todo x en C y 0 ≤ λ ≤ 1, λx está en C.
- Equilibrado si para todo x en C, λxestá en C si |λ| ≤ 1. Si el cuerpo subyacente K son los números reales, esta significa que si x está en C, C contiene el segmento de línea entre x y -x. Para un espacio vectorial complejo V, esto significa que para algún x en C, C contiene el disco con x en su frontera, centrado en el origen, en el espacio unidimensional generado por x. Equivalentemente, un conjunto equilibrado es un cono redondeado.
- Absorbente si la unión de tC sobre todo t > 0, pertenece todo a V, o equivalentemente para todo x en V, tx está en C para algún t > 0. El conjunto C puede ser ampliado a absorber cualquier punto en el espacio.
- Absolutamente convexo si es a la vez equilibrado y convexo.
Un espacio vectorial topológico localmente convexo es un espacio vectorial topológico en el cual el origen tiene una base local de conjuntos absorbentes y absolutamente convexos. Debido a que la traslación es (por definición de espacio vectorial topológico) continua, todas las traslaciones son homeomorfismos, por tanto toda base para las vecindades del origen puede ser trasladada a una base para las vecindades de cualquier vector dado.
Una seminorma en V es una función p : V → R tal que:
- p es positiva o semidefinida positiva:p(x) ≥ 0.
- p es homogéneamente positiva o escaladamente positiva: p(λx) = |λ| p(x) para todo escalar λ. Entonces en particular, p(0) = 0.
- p es subaditivo. Satisface la desigualdad triangular: p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Si p es estrictamente positiva, establece que si p(x) = 0 entonces x = 0, luego p es una norma. Mientras que en general, las seminormas no necesariamente son normas, existe una analogía de este criterio para familias de seminormas, separadamente, definida a continuación.
Un espacio locamente convexo está entonces definido como un espacio vectorial V de seminormas {pα}α ∈ A en V. El espacio contiene una topología natural, la topología inicial de las seminormas. En otras palabras es la topología más fuerte para la cual todas las funciones x → pα(x−x0), x0 ∈ V, α ∈ A, son continuas. Una base de vecindades de x0 para esa topología es obtenida de la siguiente forma: para todo subconjunto finito B de A y todo ε > 0, sea
Las operaciones del espacio vectorial son continuas en esta topología, siguiendo las propiedades dos y tres mencionadas anteriormente. El resultante espacio vectorial topológico es localmente convexo debido a que cada miembro de la familia generadora es convexo.
