Esperanza condicional

Sean ${\textstyle X}$ e ${\textstyle Y}$ dos variables aleatorias discretas, el valor esperado condicional de ${\textstyle X}$ dado el caso ${\textstyle Y=y}$ es una función de ${\displaystyle y}$ sobre el rango de ${\textstyle Y}$ definido como sigue

${\displaystyle \mathbb {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x{\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}}}$

donde ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ es el rango de ${\textstyle X}$. Si ${\textstyle X}$ es una variable aleatoria continua, mientras que ${\displaystyle Y}$ sigue siendo una variable discreta, el valor esperado condicional es:

${\displaystyle \mathbb {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X|Y}(x|Y=y)\ {\text{d}}x=\int _{\mathcal {X}}x{\frac {f_{(X,Y)}(x,y)}{f_{Y}(y)}}\ {\text{d}}x}$

donde ${\displaystyle f_{X|Y}(\,\cdot \,|Y=y)}$ es la densidad condicional de ${\displaystyle X}$ dado ${\displaystyle Y=y}$. Un problema surge cuando ${\displaystyle Y}$ es continua. En este caso, la probabilidad ${\displaystyle P(Y=y)=0}$ y la paradoja de Borel-Kolmogorov demuestra la ambigüedad de intentar definir probabilidad condicional a lo largo de estas líneas. Sin embargo, la ecuación de la definición puede ser reorganizada como:

${\displaystyle \mathbb {E} (X|Y=y)\operatorname {P} (Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x,Y=y),}$

y aunque esto es trivial para valores individuales de ${\displaystyle y}$ (ya que ambos lados son iguales a cero), se debe mantener para cualquier subconjunto medible ${\displaystyle B}$ del dominio de ${\displaystyle Y}$ que

${\displaystyle \int _{B}\mathbb {E} (X|Y=y)\operatorname {P} (Y=y)\ \operatorname {d} y=\int _{B}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x,Y=y)\ \operatorname {d} y.}$

De hecho, esta es una condición suficiente para definir tanto la expectativa condicional como la probabilidad condicional.

Sean:

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ un espacio de probabilidad,
• ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ una variable aleatoria en dicho espacio de probabilidad con esperanza finita, es decir, ${\displaystyle \mathbb {E} [|X|]<\infty }$, y
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ una sub-${\displaystyle \sigma }$-álgebra de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Como ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ es una sub ${\displaystyle \sigma }$-álgebra de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, la función ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ no es, en general, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-medible, por lo que no puede asumirse la existencia de integrales de la forma ${\textstyle \int _{H}X\,dP|_{\mathcal {H}}}$, donde ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$ y ${\displaystyle P|_{\mathcal {H}}}$ es la restricción de ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Sin embargo, los promedios locales ${\textstyle \int _{H}X\,dP}$ pueden recuperarse en ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {H}},P|_{\mathcal {H}})}$ gracias al concepto de esperanza condicional. Una esperanza condicional de ${\displaystyle X}$ dado ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, denotada por ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$, es cualquier función ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-medible ${\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ que satisfaga

${\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P}$

para todo ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$.

La existencia de ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$ puede demostrarse observando que ${\textstyle \mu ^{X}\colon F\mapsto \int _{F}X\,\mathrm {d} P}$ para ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ es una medida finita en ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ que es absolutamente continua respecto a ${\displaystyle P}$. Sea ${\displaystyle h}$ la inyección natural de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, entonces ${\displaystyle \mu ^{X}\circ h=\mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}$ es la restricción de ${\displaystyle \mu ^{X}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ y ${\displaystyle P\circ h=P|_{\mathcal {H}}}$ es la restricción de ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Además, ${\displaystyle \mu ^{X}\circ h}$ es absolutamente continua respecto a ${\displaystyle P\circ h}$, puesto que la condición

${\displaystyle P\circ h(H)=0\iff P(h(H))=0}$

implica

${\displaystyle \mu ^{X}(h(H))=0\iff \mu ^{X}\circ h(H)=0.}$

Por tanto, podemos definir la esperanza condicionada de ${\displaystyle X}$ respecto a ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ como la derivada de Radon-Nikodym de la medida ${\displaystyle \mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}$ respecto a ${\displaystyle P|_{\mathcal {H}}}$ en ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {H}})}$, es decir,

${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}):={\frac {\mathrm {d} \mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} P|_{\mathcal {H}}}}={\frac {\mathrm {d} (\mu ^{X}\circ h)}{\mathrm {d} (P\circ h)}},}$

que satisface la definición de esperanza condicional introducida anteriormente.