Espiral sinusoidal

Diferenciando

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,}$

y eliminando a, resulta una ecuación diferencial para r y θ:

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0}$.

Entonces

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)}$

lo que implica que el ángulo tangencial polar es

${\displaystyle \psi =n\theta \pm \pi /2}$

y entonces el ángulo tangencial es

${\displaystyle \varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2}$.

(El signo aquí es positivo si r y cos nθ tienen el mismo signo, y negativo de lo contrario).

El vector tangente unidad,

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)}$,

tiene longitud uno, por lo que la comparación de la magnitud de los vectores en cada lado de la ecuación anterior da

${\displaystyle {\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta }$.

En particular, la longitud de un solo bucle cuando ${\displaystyle n>0}$ es:

${\displaystyle a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta }$

La curvatura viene dada por

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta }$.