Exesfera (poliedro)

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La exesfera toca la cara del poliedro regular en el centro del círculo inscrito de esa cara. Si el radio de la exesfera se denota como r_ex, el radio de este círculo inscrito es r_in y el ángulo diedro entre la cara y la extensión de la cara adyacente es δ, el centro de la exesfera se ubica desde el punto de vista en el punto medio de una arista de la cara, bisecando el ángulo diedro. Por lo tanto:

${\displaystyle \tan {\frac {\delta }{2}}={\frac {r_{\mathrm {ex} }}{r_{\mathrm {in} }}}.}$

δ es el complemento a 180 grados del ángulo interno entre caras.

Aplicado a la geometría del tetraedro de longitud de arista a, se tiene un radio del incírculo r_in = a/(2√3) (derivado al dividir el doble del área de la cara (a²√3)/4 por el perímetro 3a), un ángulo diedro δ = π - arccos(1/3) y, en consecuencia, r_ex = a/√6.

El radio de las exesferas de las 6 caras del cubo es igual al radio de la esfera inscrita, ya que δ y su complemento son iguales, 90 grados.

El ángulo diedro aplicable al icosaedro se obtiene considerando las coordenadas de dos triángulos con una arista común, por ejemplo, una cara con vértices en

${\displaystyle (0,-1,g),(g,0,1),(0,1,g),}$

y la otra en

${\displaystyle (1,-g,0),(g,0,1),(0,-1,g),}$

donde g es el número áureo. Restando las coordenadas de los vértices, se definen los vectores de las aristas:

${\displaystyle (g,1,1-g),(-g,1,g-1)}$

de la primera cara y

${\displaystyle (g-1,g,1),(-g,-1,g-1)}$

de la otra. Los productos vectoriales de las aristas de la primera y la segunda cara dan como resultado (sin normalizar) los vectores normales de las caras:

${\displaystyle (2g-2,0,2g)\sim (g-1,0,g)}$

de la primera cara y

${\displaystyle (g^{2}-g+1,-g-(g-1)^{2},1-g+g^{2})=(2,-2,2)\sim (1,-1,1)}$

de la segunda cara, utilizando g²=1+g.

El producto escalar entre las normales de estas dos caras permite obtener el coseno del ángulo diedro

${\displaystyle \cos \delta ={\frac {(g-1)\cdot 1+g\cdot 1}{{\sqrt {(g-1)^{2}+g^{2}}}{\sqrt {3}}}}={\frac {2g-1}{3}}={\frac {\surd 5}{3}}\approx 0.74535599.}$ (Sucesión OEIS A208899)

${\displaystyle \therefore \delta \approx 0.72973\,\mathrm {rad} \approx 41.81^{\circ }}$

${\displaystyle \therefore \tan {\frac {\delta }{2}}={\frac {\sin \delta }{1+\cos \delta }}={\frac {2}{3+\surd 5}}\approx 0.3819660}$ (Sucesión OEIS A132338)

Para un icosaedro de arista a, el radio del círculo inscrito de las caras triangulares es r_in = a/(2√3), y finalmente el radio de las 20 exosferas es

${\displaystyle r_{\mathrm {ex} }={\frac {a}{(3+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}}}\approx 0.1102641a.}$