Fórmulas de Mollweide
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En trigonometría, las fórmulas de Mollweide, o en algunos textos antiguos ecuaciones de Mollweide, que llevan el nombre de Karl Mollweide, son unas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.[1][2] Se pueden usar para comprobar el resultado de la resolución de triángulos.[3]
Sean a, b y c las longitudes de los tres lados de un triángulo y sean α, β y γ las medidas de los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. Las fórmulas de Mollweide establecen que:
y que:
Cada una de estas identidades utiliza seis medidas de un triángulo: los tres ángulos y la longitud de los tres lados.
Cuadrilátero cíclico
Una generalización de la fórmula de Mollweide se cumple para un cuadrilátero cíclico Denotando las longitudes de los lados como y y las medidas de los ángulos como y Si es el punto de intersección de las diagonales, denotando entonces:[4]
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma -\delta )}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\gamma )}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9faf6730d4ef26ea1a276e2ff2378383289f4e9c)
Un triángulo puede considerarse como un cuadrilátero con un lado de longitud cero. Desde esta perspectiva, a medida que se aproxima a cero, un cuadrilátero cíclico converge en un triángulo cíclico (todos los triángulos son cíclicos), y las fórmulas anteriores se simplifican a las fórmulas análogas de triángulos.
