Fórmula de Jensen

Supongamos que ƒ es una función analítica en una región en el plano complejo que contiene el disco cerrado D del radio r sobre el origen, a₁, a₂, ..., a_n son los ceros de ƒ en el interior de D repetidos de acuerdo con la multiplicidad, y ƒ(0) ≠ 0. La fórmula de Jensen dice que

${\displaystyle \log |f(0)|=\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {|a_{k}|}{r}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}$

Esta fórmula establece una conexión entre los módulos de los ceros de la función ƒ dentro del disco D y el promedio de log |f(z)| en el círculo del límite |z| = r, y puede verse como una generalización de la propiedad de valor medio de las funciones armónicas. A saber, si f no tiene ceros en D, entonces la fórmula de Jensen se reduce a

${\displaystyle \log |f(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta ,}$

que es la propiedad de valor medio de la función armónica ${\displaystyle \log |f(z)|}$.

Una declaración equivalente de la fórmula de Jensen que se usa con frecuencia es

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\;d\theta -\log |f(0)|=\int _{0}^{r}{\frac {n(t)}{t}}\;dt}$

donde ${\displaystyle n(t)}$denota el número de ceros de ${\displaystyle f}$en el disco de radio ${\displaystyle t}$ centrado en el origen.

La fórmula de Jensen puede generalizarse para funciones que son meramente meromorfas en D. A saber, asume que

${\displaystyle f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}},}$

donde g y h son funciones analíticas en D que tienen ceros en ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} \backslash \{0\}}$y ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} \backslash \{0\}}$respectivamente, entonces la fórmula de Jensen para las funciones meromorfas establece que

${\displaystyle \log \left|{\frac {g(0)}{h(0)}}\right|=\log \left|r^{m-n}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}$

La fórmula de Jensen se puede usar para estimar el número de ceros de la función analítica en un círculo. A saber, si f es una función analítica en un disco de radio R centrado en z ₀ y si | f | está limitado por M en el límite de ese disco, entonces el número de ceros de f en un círculo de radio r < R centrado en el mismo punto z ₀ no excede

${\displaystyle {\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}.}$

La fórmula de Jensen es una declaración importante en el estudio de la distribución de valores de funciones completas y meromorfas. En particular, es el punto de partida de la teoría de Nevanlinna.

La fórmula de Jensen es una consecuencia de la fórmula más general de Poisson – Jensen, que a su vez se sigue de la fórmula de Jensen aplicando una transformación de Möbius a z. Fue introducido y nombrado por Rolf Nevanlinna. Si f es una función que es analítica en el disco de la unidad, con ceros a₁, a₂, ..., a_n ubicado en el interior del disco de la unidad, luego para cada ${\displaystyle z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}}$en la unidad de disco, la fórmula de Poisson – Jensen indica que

${\displaystyle \log |f(z_{0})|=\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta .}$

Aquí,

${\displaystyle P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }r^{|n|}e^{in\omega }}$

es el núcleo de Poisson en el disco de la unidad. Si la función f no tiene ceros en el disco de la unidad, la fórmula de Poisson-Jensen se reduce a

${\displaystyle \log |f(z_{0})|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta ,}$

la cual es la fórmula de Poisson para la función armónica ${\displaystyle \log |f(z)|}$.

• Ahlfors, Lars V. (1979), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in pure and applied Mathematics (3rd edición), Düsseldorf: McGraw–Hill, ISBN 0-07-000657-1, Zbl 0395.30001 .
• Jensen, J. (1899), «Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions», Acta Mathematica (en francés) 22 (1): 359-364, ISSN 0001-5962, JFM 30.0364.02, MR 1554908, doi:10.1007/BF02417878 .
• Ransford, Thomas (1995), Potential theory in the complex plane, London Mathematical Society Student Texts 28, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-46654-7, Zbl 0828.31001 .