Fórmula de Tanaka

En el cálculo estocástico, la fórmula de Tanaka afirma que:

${\displaystyle |B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}}$

donde B_t es el movimiento browniano estándar, sgn es la función signo

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}}$

y L_t es su tiempo local en 0 (el tiempo local empleado por B en 0 antes del tiempo t) dado por el límite L²

${\displaystyle L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.}$

La fórmula de Tanaka es la descomposición Doob–Meyer explícita de la submartingala |B_t| con respecto a la martingala (la integral del lado derecho), y un proceso creciente continuo (tiempo local). También puede considerarse un análogo del lema de Ito para la función de valor no absoluto (irregular) ${\displaystyle f(x)=|x|}$, con ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {sgn}(x)}$ y ${\displaystyle f''(x)=2\delta (x)}$; véase, en tiempo local, una explicación formal del lema de Ito.