Galería de correspondencias matemáticas
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Una correspondencia matemática es una relación binaria entre dos conjuntos, que pueden cumplir o no cuatro propiedades:
- Unicidad de imagen: los elementos del conjunto inicial que tienen imagen tienen una sola imagen.
- Existencia de imagen: paro todo elemento del conjunto inicial existe algún elemento del conjunto final que es su imagen.
- Unicidad de origen: los elementos del conjunto final que tienen origen tienen un solo origen.
- Existencia de origen: para todo elemento del conjunto final existe algún elemento del conjunto inicial que es su origen.
Dada la importancia de estos conjuntos, a continuación se presenta una galería de ejemplos de los tipos y subtipos de correspondencias matemáticas, empleando la propia teoría de conjuntos para su presentación.
Donde:
- C: correspondencia.
- U: correspondencia unívoca.
- B: correspondencia biunívoca.
- A: aplicación matemática.
- S: aplicación sobreyectiva.
Correspondencia
Una correspondencia, entre dos conjuntos, puede cumplir cuatro propiedades:
- Unicidad de imagen.
- Existencia de imagen.
- Unicidad de origen.
- Existencia de origen.
Estas cuatro propiedades son independientes pudiendo cumplirse o no cada una de ellas independiente mente de las demás, esto da lugar a 16 posibles casos diferentes, de estos 16 casos solo siete tienen nombre:
- Correspondencia
- Correspondencia unívoca
- Correspondencia biunívoca
- Aplicación matemática
- Aplicación inyectiva
- Aplicación sobreyectiva
- Aplicación biyectiva
Podemos ver una galería de ejemplos de cada uno de los casos.
Dados dos conjuntos donde algún elemento del conjunto inicial está relacionado con algún elemento del conjunto final, esa relación es una correspondencia.
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Correspondencia unívoca
Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen es una correspondencia unívoca, las correspondencias unívocas son un subconjunto de las correspondencias.
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Correspondencia biunívoca
Una correspondencia biunívoca es la correspondencia que cumple la unicidad de imagen y de origen, esto es una correspondencia biunívoca en una correspondencia unívoca que cumple la unicidad de origen. La correspondencias biunívocas son un subconjunto de las correspondencias unívocas.
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Aplicación matemática
Una aplicación matemática es una correspondencia que cumple la unicidad y la existencia de imagen, esto es una aplicación es una correspondencia unívoca que cumple la unicidad de imagen.
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Aplicación sobreyectiva
Una aplicación es sobreyectiva, si cumple la unicidad y existencia de imagen y la existencia de origen, o lo que es lo mismo es una aplicación que cumple la existencia de origen.
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Aplicación inyectiva
Una aplicación es inyectiva, si cumple la unicidad y existencia de imagen y la unicidad de origen, o lo que es lo mismo es una aplicación que cumple la unicidad de origen. Las aplicaciones inyectives son la intersección entre las aplicaciones matemáticas y la correspondencias biunívocas.
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Aplicación biyectiva
Una aplicación es biyectiva, si cumple la unicidad y existencia de imagen y la unicidad y existencia de origen, o lo que es lo mismo es una aplicación que cumple la unicidad y la existencia de origen. Las aplicaciones biyectivas son la intersección entre las aplicaciones sobreyectivas e inyectivas.
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