Grupo de Weyl

En matemáticas, en la teoría de grupos y álgebras de Lie, el grupo de Weyl de un sistema de raíces es un subgrupo del grupo de isometrías del sistema de raíces. Concretamente, consiste en el grupo finito de reflexiones generado por las reflexiones con respecto a los hiperplanos ortogonales a las raíces. Reciben este nombre en honor a Hermann Weyl.

Sea G un grupo de Lie conexo y compacto y T un toro de G. El grupo de Weyl W de G es el grupo de automorfismos de T que son restricciones de automorfismos internos de G. Nótese que esto es independiente de la elección de T si el toro es maximal dado que éstos son todos conjugados. Los automorfismos internos vienen dados por conjugación, así que W es isomorfo a N(T), el normalizador de T en G, cociente los automorfismos triviales, es decir, el centralizador C(T). Luego, W(G)=N(T)/C(T). Si G es conexo y T es un toro maximal, y por lo tanto autocentralizado, se tiene W(G)=N(T)/T.

El grupo de Weyl W permuta las raíces de G. La definición se puede dar también en términos de las álgebras de Lie de los toros maximales, las subálgebras de Cartan.

Ejemplos

G=SU(2)

Desarrollamos aquí el ejemplo del grupo unitario especial SU(2). Nótese que topológicamente es la 3-esfera, SU(2)=S³ y como grupo es isomorfo a los cuaterniones unitarios Sp(1). Un toro maximal T es el subgrupo U(1) de matrices de la forma ${\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}$ En particular G/T es la fibración de Hopf de S³ proyectando sobre CP¹=S². El normalizador N(T) consiste en dos clases de matrices:

{\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}},\qquad {\begin{pmatrix}0&e^{-i\theta }\\e^{i\theta }&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}=J\cdot {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}

Así pues, W(SU(2)) tiene dos elementos. Son clases representadas por las matrices identidad y J, con J enviando e^is a e^-is. Este ejemplo generaliza a U(n) dando lugar al grupo simétrico S_n.

Ejemplos

G=SU(2)

Referencias

Related Articles