Comenzaremos definiendo las series centrales descendentes de un grupo G. Dados dos subconjuntos A y B de G, se define el conmutador [A,B] como el subgrupo de G generado por todos los [x,y] con x en A e y en B, entonces la serie central descendente es A0= G, A1 = [G,G], A2 =[ A1,G] y en general Ai+1 = [Ai, G]. Es claro que A1 = [G,G] = G1, es el conmutador de G.
Si G es abeliano, entonces [G,G] = {e}, el subgrupo trivial. Extendiendo esta idea se dirá que un grupo G es un grupo nilpotente si existe un número natural n tal que An es trivial. Si n es el número natural más pequeño para el cual An es trivial, diremos que G es nilpotente de clase n. El subgrupo trivial es de clase 0, todo grupo abeliano, excepto el trivial, es de clase 1. Los grupos nilpotentes de clase 2 son también llamados grupos metabelianos.
Como justificación del término "nilpotente" observemos la siguiente propiedad de los elementos de un grupo G nilpotente: sea g en G y definimos la función f : G → G dada por f(x) = [x,g]. Entonces esta función es nilpotente en el sentido que existe un número natural n tal que fn, la n-ésima iteración de f, envía cada elemento x de G al elemento identidad.
Una definición equivalente viene dada por las series centrales ascendentes de G, las cuales son una sucesión de grupos Z0= {e}, Z1, Z2, ..., Zi, ..., definidos por:
![{\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G|\forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd122065cf610ddbc1c082b8ec60c0e37af4fdc9)
En este caso, Z1 es el centro de G, y en general el grupo cociente Zi+1/Zi es el centro de G/Zi. Si G es un grupo abeliano entonces es claro que Z1 es G. Con estas definiciones un grupo es llamado nilpotente de clase n si Zn = G y n es mínimo con esta propiedad.
Ambas definiciones de grupo nilpotente son equivalentes. Más aún, la serie central descendente alcanza el grupo trivial en n pasos si y sólo si la serie central ascendente alcanza G en n pasos.
