Integral multiplicativa

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En su forma más básica las integrales pueden entenderse como el límite de una serie que calcula el área cerrada debajo del gráfico de la función ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \int f(x)dx=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {f(x_{i}){\Delta x}}}$

Las integrales multiplicativas son similares sólo que en vez de calcular el límite de una suma, calculan el límite de un producto.

${\displaystyle \;\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {f(x)^{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}}$

Se puede entender como un producto «continuo» en vez de un producto «discreto».

Ahora bien, a diferencia de las integrales normales, existen diferentes tipos de integrales multiplicativas, que debido a la falta de terminología ampliamente aceptada, se designarán de forma arbitraria como los Tipos I hasta III de más abajo.

Tipo I:

${\displaystyle \;\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {f(x)^{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp(\int _{a}^{b}{\ln(f(x))dx})}$

Tipo II:

${\displaystyle \;\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {1+f(x)\,{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {(1+f(x_{i}){\Delta x})}}$

Tipo III (sin dx):

${\displaystyle \;\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {f(x)}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})}=\exp(\int _{a}^{b}{\ln(f(x))})}$

(nota: hay que determinar las condiciones en las que ${\displaystyle f(x),a,b}$ converge y en el caso del último tipo también debe describirse la partición del dominio para calcular el límite)

Los argumentos (${\displaystyle x}$) de las expresiones de arriba pueden ser tanto variables reales como matrices (ver las referencias de Gill más abajo).

${\displaystyle \;\sideset {}{_{1}^{2}}\prod {x^{dx}}=\exp(\int _{a}^{b}{\ln(x)dx})=\exp(x\ln(x)-x)_{1}^{2}=4/e}$