Lema de Riemann-Lebesgue

Consideraremos el caso particular ${\displaystyle n=1}$, la prueba en otras dimensiones es muy similar. Sea ${\displaystyle f}$ una función suave de soporte compacto, entonces por integración por partes en cada variable se obtiene

${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-i\xi x}dx\right|=\left|-{\frac {f(x)e^{-i\xi x}}{i\xi }}+\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{i\xi }}f'(x)e^{-i\xi x}dx\right|=\left|\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{i\xi }}f'(x)e^{-i\xi x}dx\right|\leq {\frac {1}{|\xi |}}\int _{\mathbb {R} }|f'(x)|dx\rightarrow 0{\mbox{ cuando }}|\xi |\rightarrow \infty .}$

Si ${\displaystyle f}$ es una función integrable arbitraria, esta puede ser aproximada en la norma de ${\displaystyle L^{1}}$ por una función ${\displaystyle g}$ suave de soporte compacto. Escogamos tal función ${\displaystyle g}$ de manera que ${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}<\varepsilon }$. Entonces

${\displaystyle \limsup _{|\xi |\rightarrow \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{|\xi |\rightarrow \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-i\xi x}dx\right|+\limsup _{|\xi |\rightarrow \infty }\left|\int g(x)e^{-i\xi x}dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon ,}$

y puesto que esto es para cualquier ${\displaystyle \varepsilon >0}$, el teorema queda demostrado.

El lema de Riemann–Lebesgue puede ser usado para probar la validez de aproximaciones asintóticas para integrales. Tratamientos rigurosos del método de descenso más agudo y el método de la fase estacionaria, entre otros, están basados en este resultado.

• Iorio, Rafael (2001). Fourier analysis and partial differtial equations. Cambridge University Press. 
• Linares, Felipe & Ponce, Gustavo (2008). Introduction to Nonlinear Dispersive Equations. Springer.