Ley de inercia de Sylvester

Teorema (Ley de inercia de Sylvester): Dada una métrica simétrica sobre un espacio vectorial real ${\displaystyle E}$ , existe una base ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ de ${\displaystyle E}$ en la que la matriz de la métrica tiene forma diagonal

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&&&&&&&\\&\ddots ^{p}&&&&&&&\\&&1&&&&&&\\&&&-1&&&&&\\&&&&\ddots ^{q}&&&&\\&&&&&-1&&&\\&&&&&&0&&\\&&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&&0\end{pmatrix}}}$$

con ${\displaystyle p}$ "1" y ${\displaystyle q}$ "-1" (luego ${\displaystyle n-p-q}$ "0"). Además, dichos números no dependen de la base elegida.

Definición: Llamaremos signatura de la métrica al par ${\displaystyle (p,q)}$; y matriz reducida de la métrica a la anterior.

La demostración del teorema se puede encontrar en la página Forma cuadrática, en el apartado de equivalencia de formas cuadráticas en el caso real.