Linealización

El resultado de la linealización de una función es una función lineal que normalmente se utiliza con finalidades de cálculo. La linealización es un método eficaz que se utiliza para aproximar el resultado de una función en un punto cualquiera ${\displaystyle x=a}$ a partir de la pendiente y del valor de la función ${\displaystyle y=f(x)}$ al punto ${\displaystyle x=b}$, siempre que f(x) sea derivable a ${\displaystyle [a,b]}$ (o a ${\displaystyle [b,a]}$)y que ${\displaystyle a}$ sea cercano a ${\displaystyle b}$. En resumen, la linealización aproxima el resultado de la función cerca del punto ${\displaystyle x=a}$.

Por ejemplo, se puede saber que ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$. Pero, sin calculadora, ¿cuál debería ser una buena aproximación de ${\displaystyle {\sqrt {4,001}}={\sqrt {4+0,001}}}$?

Para cualquier función dada ${\displaystyle y=f(x)}$, ${\displaystyle f(x)}$ se puede aproximar si es cercana a un punto donde es derivable y conocida. El requisito más básico es que, si ${\displaystyle L_{a}(x)}$ es la linealización de f(x) a x = a, ${\displaystyle L(a)=f(a)}$. La ecuación lineal de una ecuación cualquiera es una recta, dado un punto ${\displaystyle (H,K)}$ y la pendiente ${\displaystyle M}$. La fórmula general de esta ecuación es: ${\displaystyle y-K=M(x-H)}$.

Usando el punto ${\displaystyle (a,f(a))}$, ${\displaystyle L_{a}(x)}$ deviene ${\displaystyle y=f(a)+M(x-a)}$. Como las funciones derivables son localmente lineales, la mejor pendiente para sustituir en la ecuación, ha de ser la pendiente de la línea tangente a ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle x=a}$.

Mientras el concepto de linealidad local se aplica principalmente a puntos arbitrariamente próximos a ${\displaystyle x=a}$, este concepto de relativamente próximo funciona relativamente bien para aproximaciones lineales. Después de todo, una linealización es solamente una aproximación. La pendiente ${\displaystyle M}$ ha de ser, más exactamente, la pendiente de la recta tangente a ${\displaystyle x=a}$.

Visualmente, la figura muestra la recta tangente a ${\displaystyle f(x)}$ en x. A ${\displaystyle f(x+h)}$, donde ${\displaystyle h}$ es cualquier valor pequeño, positivo o negativo, f(x+h) es muy cercano al valor de la recta tangente al punto ${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$.

La ecuación para la linealización de una función a ${\displaystyle x=a}$ es:

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a)\,}$

Para ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle f(a)}$ es ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle a}$. La derivada de ${\displaystyle f(x)}$ es ${\displaystyle f'(x)}$, y la pendiente de ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle a}$ es ${\displaystyle f'(a)}$.