Función lipschitziana
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En matemática, una función f : M → N entre espacios métricos (M,dM) y (N,dN) se dice que es lipschitziana (o se dice que satisface una condición de Lipschitz o que es Lipschitz continua) si existe una constante K > 0 tal que:[1]
En tal caso, K es llamada la constante Lipschitz de la función. El nombre viene del matemático alemán Rudolf Lipschitz. Para funciones definidas sobre espacios euclídeos la relación anterior puede escribirse:
Características y resultados principales
- Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua y por tanto continua.
- Las funciones Lipschitz continuas con constante Lipschitz K = 1 son llamadas funciones cortas y con K < 1 reciben el nombre de contracciones. Estas últimas son las que permiten aplicar el teorema del punto fijo de Banach.
- La condición de Lipschitz es una hipótesis importante para demostrar la existencia y unicidad de soluciones para las ecuaciones diferenciales ordinarias. La condición de continuidad de la función por sí sola asegura la existencia de soluciones (Teorema de Peano),[2] pero para poder confirmar también la unicidad de la solución es necesario considerar también la condición de Lipschitz (Teorema de Picard-Lindelöf).
- Si U es un subconjunto del espacio métrico M y f : U → R es una función Lipschitz continua a valores reales, entonces siempre existe una función Lipschitz continua M → R que extiende f y tiene la misma constante Lipschitz que f.(ver también teorema de Kirszbraun).
- Una función Lipschitz continua f : I → R, donde I es un intervalo en R, es diferenciable casi en todas partes (siempre excepto en un conjunto de medida de Lebesgue cero). Además, si K es la constante Lipschitz def, entonces |f'(x)| ≤ K toda vez que la derivada exista. Recíprocamente, si f : I → R es una función diferenciable con derivada acotada, |f'(x)| ≤ L para toda x en I, entonces f es Lipschitz continua con constante Lipschitz K, tal que L ≥ K, como consecuencia del teorema del valor medio.
Definiciones relacionadas
Estas definiciones se requieren en el Teorema de Picard-Lindelöf y en resultados relacionados con él.
- Localidad Lipschitz: Dados M, N, espacios métricos, se dice que una función es localmente lipschitz si para todo punto de M existe un entorno donde la función cumple la condición Lipschitz.
- Función Lipschitz respecto una variable: Dados M, N, L espacios métricos, se dice que una función es localmente Lipschitz respecto si cumple la condición Lipschitz para puntos de N.
