Longitud de dispersión

Como ejemplo del cálculo de la longitud de dispersión de la onda s (es decir, momento angular l = 0) para un potencial dado podemos observar el pozo de potencial esférico repulsivo infinito de radio r₀ en 3 dimensiones. La ecuación de Schrödinger radial (l = 0) fuera del pozo es la misma que la de una partícula libre:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),}$

donde el potencial de núcleo duro requiere que la función de onda u(r) se vuelva cero en r = r₀: u(r₀) = 0. La solución se encuentra inmediatamente:

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s})}$.

Aquí,

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }};}$

δ_s = −k·r₀ es el cambio de fase de la onda s (la diferencia de fase entre la onda incidente y la dispersada), el cual queda determinado por la condición de frontera u(r₀) = 0. A es una constante de normalización arbitraria.

Se puede demostrar que, en general, δ_s(k) ≈ −k·a_s + O(k²) para k pequeña (es decir, para dispersión de baja energía). El parámetro a_s con dimensiones de longitud está definido como la longitud de dispersión. Para nuestro potencial tenemos entonces, a = r₀. En otras palabras, la longitud de dispersión para una esfera dura es justamente el radio. Alternativamente, se podría decir que un potencial arbitrario con longitud de dispersión a_s tiene las mismas propiedades de dispersión a baja energía que una esfera dura de radio a_s.

Para relacionar la longitud de dispersión con cantidades físicas observables que puedan medirse en un experimento de dispersión, es necesario calcular la sección eficaz, σ. En teoría de la dispersión, se escribe la función de onda asintótica (suponiendo que hay un dispersor de rango finito en el origen y que hay una onda plana incidente a lo largo del eje z) como

${\displaystyle \psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

donde f es la amplitud de dispersión. De acuerdo a la interpretación probabilística de la mecánica cuántica, la sección eficaz diferencial está dada por

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2},}$

es decir, la probabilidad por unidad de tiempo de dispersar en la dirección de k. Si solo consideramos la dispersión de la onda s, la sección eficaz diferencial no depende del ángulo θ. La sección eficaz de dispersión total es únicamente σ = 4π|f|². La parte de la función de onda ψ(r,θ) correspondiente a la onda s es obtenida usando la expansión usual de una onda plana en términos de ondas esféricas y de los polinomios de Legendre P_l(cos θ):

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac {1}{2ikr}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)P_{l}(\cos \theta )\left[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right].}$

Al relacionar la componente con l = 0 de ψ(r,θ) con la solución de la onda s,

${\displaystyle \psi (r)={\frac {A\sin(kr+\delta _{s})}{r}},}$

donde normalizamos A, de tal manera que la onda incidente e^ikz tenga como factor delante la unidad, se tiene:

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}(e^{2i\delta _{s}}-1)\approx \delta _{s}/k\approx -a_{s}}$

Esto da como resultado,

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sin ^{2}\delta _{s}=4\pi a_{s}^{2}}$

• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (2003). Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory. Amsterdam: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3539-8. 

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Scattering length» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión del 16 de marzo de 2013, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.