Mapeado de fotones

Como hemos mencionado ya, los fotones son almacenados a medida que colisionan contra superficies difusas o más bien no especulares. La razón de esto es que almacenar fotones que colisionan contra superficies especulares o reflectantes, no nos aportan información pues la probabilidad de que un fotón incida por la dirección especular es muy pequeña o cero. Por tanto si queremos simular reflexiones lo mejor será simularlas mediante el rayotrazado, en inglés raytracing. Para todas las otras interacciones fotón-superficie, el mapa fotónico deberá tener información sobre ellas.

Es importante observar que los fotones representan la iluminación (flujo) que llega a las superficies. Esto es una optimización notable que nos da la llave para aproximar la iluminación reflectada en muchos puntos de la superficie.

Para cada interacción fotón-superficie, serán almacenados la posición del fotón, la potencia del mismo y la dirección incidente.

Dese el momento que queremos que nuestra estructura de mapa fotónico sea útil para el algoritmo del mapeado fotónico, esta deberá ser muy rápida en encontrar los fotones vecinos más cercanos en 3 dimensiones a una posición dada. Para ello Jensen se basó en la estructura que vamos a utiliza nosotros también, los Kd-Tree balanceados.

La complejidad por encontrar un fotón en un Kd-Tree balanceado es de O(log N), donde N es el número de fotones en el mapa de fotones.

La eficiencia para encontrar los fotones más cercanos a una posición dada es un punto crítico dentro del mapeado fotónico. Afortunadamente, la simplicidad de los Kd-Trees permite implementar un algoritmo sencillo y eficiente de búsqueda para tal fin. Este algoritmo será una extensión directa de los algoritmos de búsqueda binaria estándar.

Para encontrar los vecinos más cercanos en un Kd-Tree balanceado, empezaremos por la raíz y añadiremos fotones a la lista de resultados si estos están dentro de una cierta distancia. Para encontrar los n fotones más cercanos, la lista de resultados será ordenada como si el que está más lejos pudiera ser eliminado si otro fotón más cercano fuera encontrado. Y así sucederá iterativamente sobre el Kd-Tree hasta que encontremos los fotones más cercanos.

Para el algoritmo de búsqueda será necesario que un radio máximo inicial le sea definido con tal de limitar la búsqueda. Un buen radio de búsqueda permitirá al algoritmo realizar una búsqueda óptima reduciendo el número de fotones testeados.

Con el Kd-Tree y un algoritmo de búsqueda eficaz y rápido sobre él, obtendremos la lista de los n fotones más cercanos a una posición en 3d dada. Ello nos permitirá pasar a calcular la estimación de radiación sobre ese mismo punto de la forma que veremos a continuación.

La información en el mapa fotónico puede ser usada para calcular la radiación que sale desde una superficie en una dirección dada. Desde el momento que la dirección de llegada es almacenada con cada fotón, podremos integrar la información con cualquier BRDF.

Para calcular la radiación ${\displaystyle L_{r}}$, que sale de un punto de intersección ${\displaystyle x}$ en una superficie con BRDF ${\displaystyle f_{r}}$, buscaremos primero los ${\displaystyle N}$ fotones con menor distancia a ${\displaystyle x}$. Basándonos en la suposición de que cada fotón ${\displaystyle p}$ representa el flujo ${\displaystyle \Delta \Phi _{p}}$, que llega a ${\displaystyle x}$ desde la dirección ${\displaystyle \Psi _{i,p}}$, podremos integrar toda esta información dentro de la ecuación del rendering como sigue:

${\displaystyle L_{r}(x,\Psi _{r})=\int _{\Omega }f_{r}(x,\Psi _{r},\Psi _{i})*{\frac {d^{2}\Phi _{i}(x,\Psi _{i})}{dA*dw_{i}}}*dw_{i}\approx \sum _{p=1}^{N}f_{r}(x,\Psi _{r},\Psi _{i,p})*{\frac {\Delta \Phi _{p}(x,\Psi _{i,p})}{\Pi r^{2}}}}$

Aquí se usa una aproximación a ${\displaystyle \Delta A}$ donde una esfera centrada en ${\displaystyle x}$ es expandida hasta que contenga a ${\displaystyle N}$ fotones y tenga radio ${\displaystyle r}$. Luego ${\displaystyle \Delta A}$ será aproximada como ${\displaystyle \Pi r^{2}}$. El resultado es una ecuación que nos permite computar una estimación sobre la radiación reflejada en cualquier posición de cualquier superficie usando el mapa de fotones.

${\displaystyle L_{r}(x,{\vec {w}})\approx {\frac {1}{\Pi r^{2}}}\sum _{p=1}^{N}f_{r}(x,{\vec {w}}_{p},{\vec {w}})*\Delta \Phi _{p}(x,{\vec {w}}_{p})}$

Esta será la base de la técnica del mapeado fotónico y aunque tanto Jensen como otros han hecho pequeñas aportaciones para mejorar el resultado en ciertos casos especiales, la base del método sigue intacta. Por tanto, el mapeado fotónico es una forma sencilla, rápida y ajustable de calcular cual es la parte de iluminación global que recae sobre una situación dada en 3 dimensiones.

Y aunque esto también nos lo podía solucionar la técnica de la radiosidad, el mapeado fotónico funcionará con cualquier tipo de material y de fuente de luz, y en un tiempo mucho mejor que en la anterior técnica.

• Realistic Image Synthesis Using Photon Mapping
• Mapeado de texturas
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