Matrices de Gell-Mann

Una representación importante involucra matrices 3×3 matrices porque los elementos del grupo operan sobre vectores complejos de 3 entradas, esto es, en la representación fundamental del grupo. Una elección particular de esta representación es

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

y ${\displaystyle g_{i}=\lambda _{i}/2}$.

Estas matrices tienen traza nula, son hermitianas, y obedecen la relación de normalización ${\displaystyle \mathrm {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij}}$. Gell-Mann escogió estas propiedades para generalizar las matrices de Pauli para SU(2). También se pueden extender naturalmente a grupos generales SU(n).

En esta representación, es evidente que la subálgebra de Cartan es el conjunto de combinaciones lineales (con coeficientes reales) de las dos matrices ${\displaystyle \lambda _{3}}$ y ${\displaystyle \lambda _{8}}$, que conmutan entre sí. Hay 3 subgrupos SU(2) independientes: ${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\}}$, ${\displaystyle \{\lambda _{4},\lambda _{5},x\}}$ y ${\displaystyle \{\lambda _{6},\lambda _{7},y\}}$, donde x e y son combinaciones lineales de ${\displaystyle \lambda _{3}}$ y ${\displaystyle \lambda _{8}}$.

La suma cuadrada de las matrices de Gell-Mann da el operador cuadrático de Casimir, un invariante del grupo,

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}=16/3}$.

Además, hay otro operador de Casimir independiente, en este caso cúbico.

Estas matrices sirven para estudiar las rotaciones internas entre los diferentes colores de quarks en cromodinámica cuántica.

• Matrices de Pauli
• Grupo unitario y Representación de grupo
• Modelo de quarks, carga de color y Cromodinámica cuántica
• Gluon

• Georgi, H. (1999). Lie Algebras in Particle Physics (2nd edición). Westview Press. ISBN 978-0-7382-0233-4. Lie Algebras in Particle Physics (2nd ed.). Westview Press. ISBN 978-0-7382-0233-4. 
• Arfken, G. B.; Weber, H. J.; Harris, F. E. (2000). Mathematical Methods for Physicists (7th edición). Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9. Mathematical Methods for Physicists (7th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9. 
• Kokkedee, J. J. J. (1969). The Quark Model. W. A. Benjamin. LCCN 69014391. The Quark Model. W. A. Benjamin. LCCN 69014391.