Matriz aleatoria

En términos generales, una matriz aleatoria es una función medible:

${\displaystyle {\mathcal {M}}:(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )\longrightarrow \left(\mathrm {Mat} (N,\mathbb {K} ),{\mathcal {B}},\mu \right)}$

de un espacio de probabilidad al grupo lineal de orden ${\displaystyle N}$sobre un campo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ( ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$) dotado con la medida de Lebesgue. La terna ${\displaystyle \left(\mathrm {Mat} (N,\mathbb {K} ),{\mathcal {B}},{\hat {\mu }}:=\mathbb {P} \circ {\mathcal {M}}^{-1}\right)}$ es entonces un espacio de probabilidad. De satisfacerse las condiciones del teorema de Radon-Nikodým, la única función ${\displaystyle f:\mathrm {Mat} (N,\mathbb {K} )\longrightarrow \mathbb {K} }$ integrable tal que:

${\displaystyle {\hat {\mu }}(B)=\int _{B}f\,\mathrm {d} \mu \;\;\;\;\;\forall B\in {\mathcal {B}}}$

es la densidad de probabilidad de la matriz aleatoria.

Cuando la medida de probabilidad ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ es preservada bajo la acción de un subgrupo ${\displaystyle G\leq \mathrm {GL} (N,\mathbb {K} )}$ del grupo lineal general (dada por ${\displaystyle X\mapsto A^{-1}XA\;\;\;\forall A\in G,\;X\in \mathrm {Mat} (N,\mathbb {K} )}$), se dice que la matriz ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ es ${\displaystyle G-}$invariante. Los ensembles clásicos se conforman por todas aquellas matrices aleatorias que son invariantes bajo los grupos clásicos de matrices ${\displaystyle \mathrm {O} (N),\mathrm {U} (N),\mathrm {USp} (2N')}$ (véase grupo lineal especial o grupo unitario especial). En estos casos, la densidad de probabilidad resulta ser Gaussiana:

${\displaystyle f(X)=\exp \left[-a\,\mathrm {tr} \left(X^{2}\right)+b\,\mathrm {tr} \left(X\right)+c\right]}$

donde ${\displaystyle a>0}$ y ${\displaystyle b,c\in \mathbb {R} }$. Por esta razón, a los ensembles clásicos también se les llama Gaussianos: ${\displaystyle {\textrm {GOE}}(N),{\textrm {GUE}}(N),{\textrm {GSE}}(2N')}$, respectivamente.

Si ${\displaystyle X}$ es una matriz aleatoria de un ensemble Gaussiano y ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \cdots \leq \lambda _{N}:=\max _{i=1,\dots ,N}\{\lambda _{i}\}}$ son sus eigenvalores ordenados de manera ascendente, entonces éstos tienen como densidad de probabilidad conjunta a la función:

${\displaystyle \varphi _{\beta }(x_{1},\dots ,x_{N})=C_{\beta }\prod _{1\leq i<j\leq N}\left|x_{i}-x_{j}\right|^{\beta }\prod _{i=1}^{N}e^{-\beta x_{i}^{2}/2}}$

donde ${\displaystyle C_{\beta }}$ es una constante de normalización y ${\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}}$ es el índice de Dyson correspondiente al ensemble Gaussiano particular: ortogonal, unitario o simpléctico, respectivamente. Esta función se anula para los eventos ${\displaystyle \{\lambda _{i}=\lambda _{j}\}_{i\neq j}}$, lo que se conoce como repulsión entre niveles. Ésta es de mayor intensidad conforme el índice de Dyson es mayor.

En el contexto de los experimentos nucleares, es difícil obtener información directamente de la función ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$. Típicamente, la comparación entre experimentación y teoría sobre las energías se hace ya sea con la función de correlación entre pares de niveles ${\displaystyle \lambda _{i}}$, o bien con la separación entre niveles contiguos.

Partiendo de la integración de ${\displaystyle \varphi _{1}}$ en el caso ${\displaystyle N=2}$, suponiendo que las entradas independientes de ${\displaystyle H_{\mu \nu }}$ tienen varianza común ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, y haciendo un cambio a coordenadas polares:

${\displaystyle P_{1}(x_{1},x_{2})\,\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}={\frac {r}{2\pi \cdot 4\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{8\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta }$

Wigner pudo conjeturar, en 1957, que la distribución del espaciamiento ${\displaystyle r}$ entre valores propios contiguos, según el ensemble en cuestión (descrito por ${\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}}$), tenía la forma:

${\displaystyle W_{\beta }(r)=A_{\beta }r^{\beta }\exp \left(-B_{\beta }r^{2}\right)}$

donde ${\displaystyle A_{\beta },B_{\beta }}$ son constantes y ${\displaystyle r}$ está expresado en múltiplos del espaciamiento promedio ${\displaystyle d}$. Éste, a su vez, está dado por el recíproco de la densidad de niveles promedio ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$, que describe la proporción de los ${\displaystyle N}$ valores propios en una región ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\mathbb {E} (S)}{N}}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {4\sigma ^{2}-y^{2}}}\,\mathbf {1} _{\{|y|<2\sigma \}}\,\mathrm {d} y}$

donde ${\displaystyle S=S_{(\alpha ,\beta )}(H_{\mu \nu })}$ es el número de valores propios de ${\displaystyle H_{\mu \nu }}$ en el intervalo ${\displaystyle (\alpha {\sqrt {N}},\beta {\sqrt {N}})}$ (con ${\displaystyle \alpha <\beta }$) y ${\displaystyle \mathbf {1} _{\{|y|<2\sigma \}}\,}$indica que los valores propios ${\displaystyle \lambda _{i}}$ tienen una densidad de soporte compacto, con forma semicircular.

• M. L. Mehta. Random Matrices. Academic Press, Elsevier, 3 edition, 2004.
• Weisstein, Eric W. «Random Matrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Guhr, T., Müller–Groeling, A., & Weidenmüller, H. A. (1998). Random-matrix theories in quantum physics: common concepts. Physics Reports, 299(4-6), 189–425. doi:10.1016/s0370-1573(97)00088-4
• H. A. Weidenmüller. Random Matrix Theory: introduction and overview. Proceedings of The IV Wigner Symposium, Guadalajara, México, 7-11 August (1995). Ed. Natig M. Atakishiyev, Thomas H. Seligman & Kurt Bernardo Wolf. World Scientific, 1996: 274-289.