Matriz de diagonal estrictamente dominante

Si ${\displaystyle A=((a_{i,j})_{i,j\in [\![1,n]\!]})}$ es una matriz de diagonal estrictamente dominante, entonces ${\displaystyle A}$ es invertible.

Por Contrarrecíproco. Supongamos que ${\displaystyle A}$ no es invertible, entonces su núcleo no se reduce a cero
existe entonces un vector : ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\neq 0}$ tal que ${\displaystyle AX=0}$ .
Entonces, se tiene que: ${\displaystyle \forall i\in [\![1,n]\!],\ \sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}=0.}$
Como ${\displaystyle X\neq 0}$, existe ${\displaystyle x_{i_{0}}\neq 0}$ tal que ${\displaystyle |x_{i_{0}}|=\max \left\{{|x_{i}|,i\in [\![1,n]\!]}\right\}}$.
Tenemos : ${\displaystyle -a_{i_{0},i_{0}}x_{i_{0}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}a_{i_{0},j}x_{j}}$ , de donde ${\displaystyle |a_{i_{0},i_{0}}x_{i_{0}}|\leqslant \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}x_{j}|}$ ,
y como : ${\displaystyle \forall j\in [\![1,n]\!],\ {\frac {|x_{j}|}{|x_{i_{0}}|}}\leqslant 1}$ ,
se obtiene ${\displaystyle |a_{i_{0},i_{0}}|\leqslant \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|{\frac {|x_{j}|}{|x_{i_{0}}|}}\leqslant \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|}$
Finalmente, ${\displaystyle |a_{i_{0},i_{0}}|\leqslant \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|}$ , con lo que culmina la demostración.

Podemos enunciar a partir de esta definición el siguiente teorema de convergencia aplicable a los procesos iterativos de Jacobi y Gauss Seidel:

Sea A una matriz cuadrada, si A es diagonal dominante, los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a la solución del sistema de ecuaciones Ax=b.