Medida de Carleson

Sea n ∈ N y sea Ω ⊂ R ⁿ sea un conjunto abierto (y por tanto medible ) con límite no vacío ∂Ω. Sea μ una medida de Borel en Ω, y sea σ la medida de superficie en ∂Ω. La medida μ se dice que es una medida de Carleson si existe una constante C > 0 tal que, para cada punto p ∈ ∂Ω y cada radio r > 0,

${\displaystyle \mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right),}$

dónde

${\displaystyle \mathbb {B} _{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\left|\|x-p\|_{\mathbb {R} ^{n}}<r\right.\right\}}$

denota la bola abierta de radio r alrededor de p.

Sea D el disco unitario en el plano complejo C, equipado con alguna medida de Borel μ. Para 1 ≤ pag < +∞, sea H ^p (∂ D) el espacio de Hardy en el límite de D y sea L ^p (D, μ) denota el espacio L ^p en D con respecto a la medida μ. Definir el operador de Poisson

${\displaystyle P:H^{p}(\partial D)\to L^{p}(D,\mu )}$

por

${\displaystyle P(f)(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Re} {\frac {e^{it}+z}{e^{it}-z}}f(e^{it})\,\mathrm {d} \mu (t).}$

Entonces P es un operador lineal acotado si y sólo si la medida μ es Carleson.