Modelo Georgi-Glashow

SU(5) actúa sobre ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$ y de ahí en su producto exterior ${\displaystyle \wedge \mathbb {C} ^{5}}$. Escogiendo un ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}}$ la división restringe SU (5) a S(U(2)×U(3)), produciendo matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi$ :&U(1)\times SU(2)\times SU(3)&\rightarrow &S(U(2)\times U(3))\subset SU(5)\\&(\alpha ,g,h)&\longmapsto &{\begin{pmatrix}\alpha ^{3}g&0\\0&\alpha ^{-2}h\end{pmatrix}}\\\end{matrix}}}

Con kernel ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{3},\alpha ^{-2})}$${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{3},\alpha ^{-2})}$, por lo tanto, isomorfo al grupo de calibre verdadero del modelo estándar ${\displaystyle SU(3)\times SU(2)\times U(1)/\mathbb {Z} _{6}}$ . Por la potencia cero ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{0}\mathbb {C} ^{5}}$, esto actúa trivialmente, emparejando un neutrino zurdo, ${\displaystyle \mathbb {C} _{0}\otimes \mathbb {C} \otimes \mathbb {C} }$ . Por la primera potencia exterior ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{1}\mathbb {C} ^{5}\cong \mathbb {C} ^{5}}$, la acción de grupo del modelo estándar conserva la división ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}\cong \mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}}$ . La ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ se transforma trivialmente en SU(3), como un doblete en SU(2), y bajo la representación Y = ½ de U(1) (ya que la hipercarga débil se normaliza convencionalmente como α³ = α^6Y ); esto coincide con un anti-leptones diestros, ${\displaystyle \mathbb {C} _{\frac {1}{2}}\otimes \mathbb {C} ^{2*}\otimes \mathbb {C} }$ (como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {C} ^{2*}}$ en SU (2)). La ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ se transforma como un triplete en SU (3), un singlete en SU (2), y bajo la representación de Y = −1/3 de U(1) (como α⁻² = α^6Y esto coincide con un quark down diestro, ${\displaystyle \mathbb {C} _{-{\frac {1}{3}}}\otimes \mathbb {C} \otimes \mathbb {C} ^{3}}$ .

La segunda potencia ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{2}\mathbb {C} ^{5}}$ se obtiene a través de la fórmula ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{2}(V\oplus W)={\textstyle \bigwedge }^{2}V^{2}\oplus (V\otimes W)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}V^{2}}$ . Como SU (5) conserva la forma de volumen canónico de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$, Los duales de Hodge dan las tres potencias superiores al ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{p}\mathbb {C} ^{5}\cong ({\textstyle \bigwedge }^{5-p}\mathbb {C} ^{5})^{*}}$ . Por lo tanto, la representación del modelo estándar F ⊕ F* de una generación de fermiones y antifermiones se encuentra dentro de ${\displaystyle \wedge \mathbb {C} ^{5}}$ .

Motivaciones similares se aplican a Pati-Salam y a SO(10), E6 y otros supergrupos de SU(5).

La ruptura de SU(5) ocurre cuando un campo escalar, análogo al campo de Higgs, y que se transforma en el adjunto de SU (5) adquiere un valor esperado de vacío proporcional al generador de hipercarga débil,

${\displaystyle {\frac {Y}{2}}=\operatorname {diag} \left(-1/3,-1/3,-1/3,1/2,1/2\right)}$

Cuando esto ocurre, SU (5) se rompe espontáneamente con el subgrupo de SU (5) desplazándose con el grupo generado por Y.

Este subgrupo intacto es solo el grupo de modelo estándar,

${\displaystyle [SU(3)\times SU(2)\times U(1)_{Y}]/\mathbb {Z} _{6}.}$

Bajo su subgrupo ininterrumpido, el contiguo 24 se transforma como

${\displaystyle \mathbf {24} \rightarrow (8,1)_{0}\oplus (1,3)_{0}\oplus (1,1)_{0}\oplus (3,2)_{-{\frac {5}{6}}}\oplus ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}}$

dando los bosones gauge del modelo estándar más los nuevos bosones X e Y. Ver representación restringida .

Los quarks y leptones del modelo estándar encajan perfectamente en las representaciones de SU (5). Específicamente, los fermiones zurdos se combinan en 3 generaciones de ${\displaystyle {\overline {\mathbf {5} }}\oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} }$ . Bajo el subgrupo intacto, estos se transforman como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\mathbf {5} }}&\to ({\bar {3}},1)_{\frac {1}{3}}\oplus (1,2)_{-{\frac {1}{2}}}&&d^{c}{\text{ and }}l\\\mathbf {10} &\to (3,2)_{\frac {1}{6}}\oplus ({\bar {3}},1)_{-{\frac {2}{3}}}\oplus (1,1)_{1}&&q,u^{c}{\text{ and }}e^{c}\\\mathbf {1} &\to (1,1)_{0}&&v^{c}\end{aligned}}}$

dando precisamente el contenido fermiónico zurdo del modelo estándar, donde para cada generación d ^c, u ^c, e ^c y ν ^c representan antiquark down, antiquark up, antilepton down y lepton de tipo anti-up, respectivamente, yq yl representan quark y lepton . Ahora se cree que los fermiones que se transforman en 1 bajo SU (5) son necesarios debido a la evidencia de oscilaciones de neutrinos, a menos que se encuentre una manera de introducir un pequeño acoplamiento de Majorana para los neutrinos zurdos.

Desde el grupo de homotopía

${\displaystyle \pi _{2}\left({\frac {SU(5)}{[SU(3)\times SU(2)\times U(1)_{Y}]/\mathbb {Z} _{6}}}\right)=\mathbb {Z} }$

Este modelo predice los monopolos de 't Hooft-Polyakov .

Estos monopolos tienen cargas magnéticas Y cuantificadas. Dado que la carga electromagnética Q es una combinación lineal de algún generador SU (2) con Y / 2, estos monopolos también tienen cargas magnéticas cuantificadas, donde por magnéticas aquí, nos referimos a cargas magnéticas electromagnéticas.

El modelo supersimétrico mínimo SU (5) asigna un ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ paridad de materia a los supercampos quirales con los campos de materia que tienen paridad impar y el Higgs que tiene paridad par para proteger al Higgs electrodébil de correcciones cuadráticas de masa radiativa (problema de la jerarquía). En la versión no supersimétrica, la acción es invariante bajo una simetría similar ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ porque los campos de materia son todos fermiónicos y, por lo tanto, deben aparecer en la acción en pares, mientras que los campos de Higgs son bosónicos .

Como representaciones complejas:

etiqueta	descripción	multiplicidad	SU (5) rep	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ reps
Φ	Campo de Higgs GUT	1	24	+
Uh	campo de Higgs electrodébil	1	5	+
H d	campo de Higgs electrodébil	1	${\displaystyle {\overline {\mathbf {5} }}}$	+
${\displaystyle {\overline {\mathbf {5} }}}$	campos de materia	3	${\displaystyle {\overline {\mathbf {5} }}}$	-
10	campos de materia	3	10	-
N c	neutrinos estériles	?	1	-

Un superpotencial renormalizable invariante genérico es un (complejo) polinomio cúbico invariante en los supercampos ${\displaystyle SU(5)\times \mathbb {Z} _{2}}$ . Es una combinación lineal de los siguientes términos:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Phi ^{2}&&\Phi _{B}^{A}\Phi _{A}^{B}\\[4pt]\Phi ^{3}&&\Phi _{B}^{A}\Phi _{C}^{B}\Phi _{A}^{C}\\[4pt]H_{d}H_{u}&&{H_{d}}_{A}H_{u}^{A}\\[4pt]H_{d}\Phi H_{u}&&{H_{d}}_{A}\Phi _{B}^{A}H_{u}^{B}\\[4pt]H_{u}\mathbf {10} _{i}\mathbf {10} _{j}&&\epsilon _{ABCDE}H_{u}^{A}\mathbf {10} _{i}^{BC}\mathbf {10} _{j}^{DE}\\[4pt]H_{d}{\overline {\mathbf {5} }}_{i}\mathbf {10} _{j}&&{H_{d}}_{A}{\overline {\mathbf {5} }}_{Bi}\mathbf {10} _{j}^{AB}\\[4pt]H_{u}{\overline {\mathbf {5} }}_{i}N_{j}^{c}&&H_{u}^{A}{\overline {\mathbf {5} }}_{Ai}N_{j}^{c}\\[4pt]N_{i}^{c}N_{j}^{c}&&N_{i}^{c}N_{j}^{c}\\\end{matrix}}}$

La primera columna es una abreviatura de la segunda columna (sin tener en cuenta los factores de normalización adecuados), donde los índices de capital son índices SU (5) e i y j son los índices de generación.

Las dos últimas filas presuponen la multiplicidad de ${\displaystyle N^{c}}$ no es cero (es decir, que existe un neutrino estéril ). El acoplamiento ${\displaystyle H_{u}\mathbf {10} _{i}\mathbf {10} _{j}}$ tiene coeficientes que son simétricos en i y j . El acoplamiento ${\displaystyle N_{i}^{c}N_{j}^{c}}$ tiene coeficientes que son simétricos en i y j . No es necesario que el número de generaciones de neutrinos estériles sea tres, a menos que el SU (5) esté integrado en un esquema de unificación superior como el SO (10) .

Los vacíos corresponden a los ceros mutuos de los términos F y D. Primero veamos el caso donde los VEV de todos los campos quirales son cero excepto para Φ.

${\displaystyle W=Tr\left[a\Phi ^{2}+b\Phi ^{3}\right]}$

Los ceros F corresponden a encontrar los puntos estacionarios de W sujetos a la restricción sin traza ${\displaystyle Tr[\Phi ]=0.}$ Entonces, ${\displaystyle 2a\Phi +3b\Phi ^{2}=\lambda \mathbf {1} ,}$ donde λ es un multiplicador de Lagrange.

Hasta una transformación SU (5) (unitaria),

${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\operatorname {diag} (0,0,0,0,0)\\\operatorname {diag} ({\frac {2a}{9b}},{\frac {2a}{9b}},{\frac {2a}{9b}},{\frac {2a}{9b}},-{\frac {8a}{9b}})\\\operatorname {diag} ({\frac {4a}{3b}},{\frac {4a}{3b}},{\frac {4a}{3b}},-{\frac {2a}{b}},-{\frac {2a}{b}})\end{cases}}}$

Los tres casos se denominan caso I, II y III y rompen la simetría del calibre en ${\displaystyle SU(5),[SU(4)\times U(1)]/\mathbb {Z} _{4}}$ y ${\displaystyle [SU(3)\times SU(2)\times U(1)]/\mathbb {Z} _{6}}$ respectivamente (el estabilizador del VEV).

En otras palabras, hay al menos tres secciones de superselección diferentes, lo cual es típico de las teorías supersimétricas.

Solo el caso III tiene algún sentido fenomenológico y, por lo tanto, nos centraremos en este caso de ahora en adelante.

Se puede verificar que esta solución junto con cero VEV para todos los demás multipletes quirales es un cero de los términos F y términos D . La paridad de materia permanece intacta (hasta la escala TeV).

El álgebra de gauge 24 se descompone como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(8,1)_{0}\\(1,3)_{0}\\(1,1)_{0}\\(3,2)_{-{\frac {5}{6}}}\\({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}\end{pmatrix}}.}$

Este 24 es una representación real, por lo que los dos últimos términos necesitan explicación. Ambas cosas ${\displaystyle (3,2)_{-{\frac {5}{6}}}}$ y ${\displaystyle ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}}$ son representaciones complejas. Sin embargo, la suma directa de ambas representaciones se descompone en dos representaciones reales irreductibles y solo tomamos la mitad de la suma directa, es decir, una de las dos copias reales irreductibles. Los primeros tres componentes se dejan intactos. El Higgs adjunto también tiene una descomposición similar, excepto que es complejo. El mecanismo de Higgs causa una MITAD real de la ${\displaystyle (3,2)_{-{\frac {5}{6}}}}$ y ${\displaystyle ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}}$ del Higgs adjunto para ser absorbido. La otra mitad real adquiere una masa proveniente de los términos D. Y los otros tres componentes del Higgs adjunto, ${\displaystyle (8,1)_{0},(1,3)_{0}}$ y ${\displaystyle (1,1)_{0}}$ Adquirir masas de escala GUT provenientes de auto-emparejamientos del superpotencial, ${\displaystyle a\Phi ^{2}+b<\Phi >\Phi ^{2}.}$

Los neutrinos estériles, si existen, también adquirirían una masa de Majorana en escala GUT procedente del acoplamiento superpotencial ν ^c2 .

Debido a la paridad de materia, las representaciones de materia ${\displaystyle {\overline {\mathbf {5} }}}$ y 10 permanecen quirales.

Son los campos de Higgs 5 _H y ${\displaystyle {\overline {\mathbf {5} }}_{H}}$ que son interesantes.

${\displaystyle 5_{H}}$		${\displaystyle {\bar {5}}_{H}}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}(3,1)_{-{\frac {1}{3}}}\\(1,2)_{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\_\_\_\\???\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}({\bar {3}},1)_{\frac {1}{3}}\\(1,2)_{-{\frac {1}{2}}}\end{pmatrix}}}$

Los dos términos superpotenciales relevantes aquí son ${\displaystyle 5_{H}{\bar {5}}_{H}}$ y ${\displaystyle <24>5_{H}{\bar {5}}_{H}}$ . A menos que haya algún ajuste fino, esperaríamos que los términos del triplete y los términos del doblete se emparejen, dejándonos sin dobletes electrodébiles ligeros. Esto está en completo desacuerdo con la fenomenología. Consulte el problema de división de doblete-triplete para obtener más detalles.