Movimiento elíptico

De acuerdo con la teoría newton de la gravitación una partícula en un campo gravitatorio con simetría esférica experimentará un movimiento dado por la ecuación:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GMm}{\|\mathbf {r} \|^{3}}}\mathbf {r} }$

La ecuación de movimiento viene dada por la solución del problema de los dos cuerpos:

${\displaystyle r={\cfrac {\ell ^{2}/GM}{1+e\cos \theta }},\quad \ell =r^{2}{\dot {\theta }}}$

Donde

${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r}+\theta \mathbf {e} _{\theta }}$

${\displaystyle \ell =\|\mathbf {L} \|/m}$, es el momento angular por unidad de masa.

${\displaystyle e\,}$ la excentricidad de la órbita.

Dada una partícula de masa m que se mueve en un campo de fuerzas cuya energía potencial sea de la forma:

${\displaystyle V(x,y)={\frac {k}{2}}(x^{2}+y^{2})={\frac {k}{2}}\|\mathbf {r} \|^{2}}$

Por ejemplo una piedra sujeta de un hilo elástico que la une a un punto fijo, ejecutará un movimiento elíptico que es la composición de dos movimientos armónicos a lo largo de dos direcciones mutuamente perpendiculares, estos movimientos serán de diferente amplitud (la amplitud mayor coincidirá con el semieje mayor de la elipse y la otra con el semieje menor). Para un hilo de sección A, módulo de Young E y longitud L se tendría:

${\displaystyle k={\frac {EA}{L}}}$

Estos dos movimientos tendrán un desfase entre ellas dependiente del momento angular. Las ecuaciones de movimiento para ese sistema serían de la forma:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx,\quad m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-ky}$

La solución de estas ecuaciones de movimiento resulta ser:

${\displaystyle x(t)=A_{x}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\beta _{x}\right),\quad y(t)=A_{y}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\beta _{y}\right)}$

Existen dos integrales de movimiento, el momento angular y la energía mecánica de la partícula vienen dadas por:

${\displaystyle L_{z}=A_{x}A_{y}{\sqrt {km}}\sin(\beta _{1}-\beta _{2}),\quad E_{m}={\frac {k}{2}}(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})}$

FIN