Multiplicidad (matemáticas)

En la factorización en factores primos

60 = 2 × 2 × 3 × 5

la multiplicidad de 2 es 2; la de 3 es 1, y la de 5 es 1. Así, 60 tiene 4 factores primos, pero solo 3 factores primos distintos.

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Sea ${\displaystyle F}$ un campo y ${\displaystyle p(x)}$ un polinomio de una variable con coeficientes en ${\displaystyle F}$. Un elemento ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle F}$ se llama raíz de multiplicidad ${\displaystyle k}$ de ${\displaystyle p(x)}$ si existe un polinomio ${\displaystyle s(x)}$ tal que ${\displaystyle s(a)}$ ≠ ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle p(x)}$ = ${\displaystyle (x-a)^{k}s(x)}$. Si ${\displaystyle k=1}$, entonces ${\displaystyle a}$ recibe el nombre de raíz simple.

Por ejemplo el polinomio ${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$ tiene ${\displaystyle 1}$ y ${\displaystyle -4}$ como raíces, y puede escribirse como ${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$. Esto significa que ${\displaystyle 1}$ es una raíz de multiplicidad ${\displaystyle 2}$, y ${\displaystyle -4}$ es una raíz 'simple' (multiplicidad ${\displaystyle 1}$).

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de Sea ${\displaystyle I}$ un intervalo de R y ${\displaystyle f}$ una función de ${\displaystyle I}$ a R o C y ${\displaystyle c}$ ∈ ${\displaystyle I}$ sea un cero de ${\displaystyle f}$, por ejemplo, un punto tal que ${\displaystyle f(c)=0}$. El punto ${\displaystyle c}$ toma el nombre de cero de multiplicidad ${\displaystyle k}$ de ${\displaystyle f}$ si existe un número real ${\displaystyle l}$ ≠ ${\displaystyle 0}$ tal que

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {|f(x)|}{|x-c|^{k}}}=\ell .}$

De forma más general, sea ${\displaystyle f}$ una función de un subconjunto abierto ${\displaystyle A}$ de un espacio vectorial con norma ${\displaystyle E}$ en un espacio vectorial con norma ${\displaystyle F}$, y sea ${\displaystyle c}$ ∈ ${\displaystyle A}$ cero de ${\displaystyle f}$, por ejemplo, un punto tal que ${\displaystyle f(c)}$ = ${\displaystyle 0}$. El punto ${\displaystyle c}$ recibe el nombre de cero de multiplicidad ${\displaystyle k}$ de ${\displaystyle f}$ si existe un número real ${\displaystyle l}$ ≠ ${\displaystyle 0}$ tal que

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {\|f(x)\|_{\mathcal {F}}}{\|x-c\|_{\mathcal {E}}^{k}}}=l.}$

El punto ${\displaystyle c}$ se llama cero de multiplicidad ∞ de ${\displaystyle f}$ si para cada ${\displaystyle k}$, se cumple que

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {\|f(x)\|_{\mathcal {F}}}{\|x-c\|_{\mathcal {E}}^{k}}}=0.}$

Ejemplo 1. Dado que

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {|\operatorname {sen} x|}{|x|}}=1,}$

0 es un cero de multiplicidad 1 de la función seno.

Ejemplo 2. Dado qué

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {|1-\cos x|}{|x|^{2}}}={\frac {1}{2}},}$

0 es un cero de multiplicidad 2 de la función ${\displaystyle 1-\cos }$.

Ejemplo 3. Considérese la función ${\displaystyle f}$ de R en R tal que ${\displaystyle f(0)=0}$ y que ${\displaystyle f(x)=\exp(1/x^{2})}$ cuando ${\displaystyle x}$ ≠ ${\displaystyle 0}$. Entonces, dado que

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {|f(x)|}{|x|^{k}}}=0}$ para todo ${\displaystyle k}$ ∈ N

0 es un cero de multiplicidad ∞ para la función ${\displaystyle f}$.