Método de aceptación y rechazo
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El método de aceptación y rechazo es un algoritmo para generar números pseudoaleatorios provenientes de una variable aleatoria.
Sea la función de densidad de la variable aleatoria , supongamos que existe una función tal que
donde denota el soporte de la variable aleatoria , como
por ser función de densidad entonces
para que sea una función de densidad, definimos la función
para y para .
El método de aceptación y rechazo supone que podemos generar una variable aleatoria con función de densidad .
Algoritmo
El algoritmo para obtener una muestra pseudoaleatoria proveniente de una variable aleatoria con función de densidad utilizando una muestra pseudoaleatoria de una variable aleatoria con función de densidad es el siguiente:
- Generar con función de densidad .
- Generar independiente de .
- Si entonces de lo contrario repetir el paso .
El algoritmo toma en promedio iteraciones para obtener una muestra pseudoaleatoria.
![{\displaystyle \operatorname {P} [X\leq x]=\int _{-\infty }^{x}f(y)dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f627e6831c26c273408edcfc726dd0dd3fa4dc6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X\leq x]&=\operatorname {P} \left[Y\leq x\;{\bigg |}\;U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\right]\\&={\frac {\displaystyle \operatorname {P} \left[Y\leq x\;,\;U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\right]}{\displaystyle \operatorname {P} \left[U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\right]}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5a74941f644f567213c3bae5e367f76348053f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} \left[Y\leq x\;,\;U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\right]&=\int _{-\infty }^{x}\operatorname {P} \left[Y\leq x\;,\;U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\;{\bigg |}\;Y=y\right]d(y)dy\\&=\int _{-\infty }^{x}\operatorname {P} \left[U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\;{\bigg |}\;Y=y\right]{\frac {g(y)}{M}}\;dy\\&=\int _{-\infty }^{x}\operatorname {P} \left[U\leq {\frac {f(y)}{g(y)}}\right]{\frac {g(y)}{M}}\;dy\\&=\int _{-\infty }^{x}{\frac {f(y)}{g(y)}}{\frac {g(y)}{M}}\;dy\\&={\frac {1}{M}}\int _{-\infty }^{x}f(y)dy\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c777b8fe929e7cde4dc8cbad5d781b9607ad93e3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} \left[U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\right]&=\int _{R_{Y}}\operatorname {P} \left[U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\;{\bigg |}\;Y=y\right]d(y)dy\\&=\int _{R_{Y}}\operatorname {P} \left[U\leq {\frac {f(y)}{g(y)}}\right]{\frac {g(y)}{M}}\;dy\\&=\int _{R_{Y}}{\frac {f(y)}{g(y)}}{\frac {g(y)}{M}}\;dy\\&={\frac {1}{M}}\int _{R_{Y}}f(y)dy\\&={\frac {1}{M}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1d8a4f9ff8797366fbfc615af9e99ab63ff8e6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X\leq x]&={\frac {\operatorname {P} \left[Y\leq x\;,\;U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\right]}{\operatorname {P} \left[U\leq {\frac {f(Y)}{g(Y)}}\right]}}\\&={\frac {\displaystyle {\frac {1}{M}}\int _{-\infty }^{x}f(y)dy}{\displaystyle {\frac {1}{M}}}}\\&=\int _{-\infty }^{x}f(y)dy\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae6f288b18b86c8d9819cfd37cb4877e2926535)
