Método de aproximaciones sucesivas de Picard

Consideramos el problema de Cauchy

${\displaystyle {\begin{cases}y'=2x(1-y),\\y(0)=2.\end{cases}}}$

En este caso ${\displaystyle f(x,y)=2x(1-y)}$. Ahora se construirá una solución de forma iterativa según la expresión dada anteriormente.

Definimos ${\displaystyle y_{0}(t)\equiv 2}$ y las iteraciones sucesivas son:

${\displaystyle y_{1}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{0}(t))\ dt=2+\int _{0}^{x}2t(1-2)\ dt=2+\int _{0}^{x}-2t=2-x^{2}}$,

${\displaystyle y_{2}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{1}(t))\ dt=2+\int _{0}^{x}2t(1-(2-t^{2}))\ dt=2-x^{2}+{\frac {1}{2}}x^{4}}$,

${\displaystyle y_{3}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{2}(t))\ dt=...=2-x^{2}+{\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{6}}$,

y, de forma general, podemos expresar ${\displaystyle y_{n}(x)}$ de la siguiente forma:

${\displaystyle y_{n}(x)=1+{\bigg (}1+{\frac {(-x^{2})}{1!}}+{\frac {(-x^{2})^{2}}{2!}}+{\frac {(-x^{2})^{3}}{3!}}+{\frac {(-x^{2})^{4}}{4!}}+{\frac {(-x^{2})^{5}}{5!}}+...+{\frac {(-x^{2})^{n}}{n!}}{\bigg )}}$.

Se puede observar que las aproximaciones son las sumas parciales del desarrollo en serie de potencias de ${\displaystyle 1+e^{-x^{2}}}$, que es la solución al problema de Cauchy anterior.

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. M.L.Krasnov, A.I.Kiseliov, G.I.Makárenko. Editorial URSS. ISBN 5-354-01099-3