Operador de Laplace-Beltrami

El operador de Laplace-Beltrami, como el Laplaciano, es la divergencia del gradiente :

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} \operatorname {grad} f.}$

Una fórmula explícita en coordenadas locales es posible.

Supongamos primero que M es una variedad de Riemann orientada. La orientación permite especificar una clara forma de volumen de M, dada en un sistema de coordenadas orientado xⁱ por

${\displaystyle \mathrm {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}}$

donde el dxⁱ son las 1-formas que forman la base dual a los vectores de la base

${\displaystyle \partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

y ${\displaystyle \wedge }$ es el producto exterior . Aquí |g| := |det(g_ij)| es el valor absoluto del determinante del tensor métrico g ij. La divergencia div X de un campo vectorial X en el colector se define entonces como la función escalar con la propiedad

${\displaystyle ({\mbox{div}}X)\;\mathrm {vol} _{n}:=L_{X}\mathrm {vol} _{n}}$

donde L_X es la derivada de Lie a lo largo del campo de vectores X. En coordenadas locales, se obtiene

${\displaystyle {\mbox{div}}X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)}$

donde la notación de Einstein está implícita, por lo que el índice i repetida se suma sobre. El gradiente de una función ƒ escalar es el vector del campo grad f que puede definirse a través del producto interno ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ en el colector, como

${\displaystyle \langle {\mbox{grad}}f(x),v_{x}\rangle =df(x)(v_{x})}$

para todos los vectores v x anclados en el punto x en el espacio tangente T x H del colector en el punto x. Aquí, d ƒ es la derivada exterior de la función f, es una 1-forma toma argumento v x. En coordenadas locales, uno tiene

${\displaystyle \left({\mbox{grad}}f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f}$

donde g^ij son los componentes de la inversa del tensor métrico, de modo que g^ijg_jk = δⁱ_k with δⁱ_k con la delta de Kronecker. La combinación de las definiciones de la pendiente y la divergencia, la fórmula para el operador de Laplace-Beltrami Δ aplica a una función ƒ escalar es, en coordenadas locales

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} \;\operatorname {grad} f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}\partial _{j}f\right).}$

Si M no está orientada, entonces el cálculo anterior lleva a cabo exactamente y como se presentan, a excepción de que la forma del volumen debe ser sustituido por un elemento de volumen (una densidad en lugar de una forma). Ni el gradiente ni la divergencia en realidad dependen de la elección de la orientación, por lo que el operador de Laplace-Beltrami en sí no depende de esta estructura adicional.

La derivada exterior d y −∇ son adjuntos formales, en el sentido de que para ƒ una función compatible de forma compacta

${\displaystyle \int _{M}df(X)\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}f\nabla \cdot X\operatorname {vol} _{n}}$     (proof)

donde la última igualdad es una aplicación del teorema de Stokes. La dualización da

${\displaystyle \int _{M}f\,\nabla ^{2}h\,\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \,\operatorname {vol} _{n}}$

(2)

para todas las funciones soportadas de forma compacta ƒ y h. Por el contrario, ( 2 ) caracteriza al operador de Laplace-Beltrami por completo, en el sentido de que es el único operador con esta propiedad.

Como consecuencia, el operador de Laplace-Beltrami es negativo y formalmente autoadjunto, lo que significa que para funciones soportadas de forma compacta ƒ y h,

${\displaystyle \int _{M}f\,\nabla ^{2}h\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \operatorname {vol} _{n}=\int _{M}h\,\nabla ^{2}f\operatorname {vol} _{n}.}$

Debido a que el operador de Laplace-Beltrami, como se define de esta manera, es negativo en lugar de positivo, a menudo se define con el signo opuesto.

• Chavel, Isaac (1984), Eigenvalues in Riemannian Geometry, Pure and Applied Mathematics 115 (2nd edición), Academic Press, ISBN 978-0-12-170640-1 ..
• Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Dover, ISBN 978-0-486-66169-8 .
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2 ..