Optimización topológica

Un problema de optimización topológica se puede escribir en la forma general de un problema de optimización como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\rho }{\operatorname {minimizar} }}&&F=F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )=\int _{\Omega }f(\mathbf {u(\rho ),\rho } )\mathrm {d} V\\&\operatorname {sujeto\;a} &&G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho \mathrm {d} V-V_{0}\leq 0\\&&&G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0{\text{ con }}j=1,...,m.\end{aligned}}}$

El planteamiento del problema incluye lo siguiente:

• Una función objetivo ${\displaystyle F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )}$. Esta función representa la cantidad que se minimiza para obtener el mejor rendimiento. La función objetivo más común es la flexibilidad, donde minimizar la flexibilidad implica maximizar la rigidez de una estructura.
• La distribución del material como variable del problema. Esta se describe mediante la densidad del material en cada ubicación, ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$. El material está presente, indicado por un 1, o ausente, indicado por un 0. ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (\mathbf {\rho } )}$ es un campo de estados que satisface una ecuación de estado lineal o no lineal dependiendo de ${\displaystyle \rho }$ .
• El espacio de diseño ${\displaystyle (\Omega )}$. Esto indica el volumen admisible dentro del cual puede existir el diseño. Los requisitos de ensamblaje y empaquetado, así como la accesibilidad de personas y herramientas, son algunos de los factores que deben considerarse para identificar este espacio. Con la definición del espacio de diseño, las regiones o componentes del modelo que no se pueden modificar durante la optimización se consideran regiones fuera de diseño.
• ${\displaystyle m}$ restricciones ${\displaystyle G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0}$. Que son características que la solución debe satisfacer. Algunos ejemplos son la cantidad máxima de material a distribuir (restricción de volumen) o los valores máximos de esfuerzo.

Evaluar ${\displaystyle \mathbf {u(\rho )} }$ usualmente implica la solución de una ecuación diferencial. Esto se realiza comúnmente usando el método de elementos finitos, ya que estas ecuaciones no tienen una solución analítica conocida.

Existen varias metodologías de implementación que se han utilizado para resolver problemas de optimización topológica

La solución de problemas de optimización topológica en un sentido discreto se realiza discretizando el dominio de diseño en elementos finitos. Las densidades de material dentro de estos elementos se tratan entonces como las variables del problema. En este caso, una densidad de material de 1 indica la presencia de material, mientras que 0 indica su ausencia. Debido a que la complejidad topológica alcanzable del diseño depende del número de elementos, se prefiere un número elevado. Un gran número de elementos finitos aumenta la complejidad topológica alcanzable, pero tiene un costo. En primer lugar, la solución del sistema de elementos finitos se vuelve más costosa. En segundo lugar, no existen algoritmos que puedan manejar un gran número (varios miles de elementos no es raro) de variables discretas con múltiples restricciones. Además, son poco sensibles a las variaciones de parámetros.^[1] En la literatura, se han reportado problemas con hasta 30.000 variables.^[2]

Las complejidades mencionadas anteriormente para resolver problemas de optimización topológica mediante variables binarias han llevado a la comunidad a buscar otras opciones. Una de ellas es el modelado de las densidades con variables continuas. Las densidades de los materiales ahora también pueden alcanzar valores entre 0 y 1. Existen algoritmos basados en gradientes que manejan grandes cantidades de variables continuas y múltiples restricciones. Sin embargo, las propiedades de los materiales deben modelarse en un entorno continuo. Esto se realiza mediante interpolación. Una de las metodologías de interpolación más implementadas es el método SIMP (del inglés para Material Sólido Isotrópico con Penalización).^[3] Esta interpolación es una ley de potencia: ${\displaystyle E\;=\;E_{0}\,+\,\rho ^{p}(E_{1}-E_{0})}$. Interpola el módulo de Young del material al campo de selección escalar. El valor del parámetro de penalización ${\displaystyle p}$ se toma en ${\displaystyle [1,\,3]}$, generalmente. Se ha demostrado que esto confirma la microestructura de los materiales.^[4] En el método SIMP, se añade un límite inferior al módulo de Young, ${\displaystyle E_{0}}$, para asegurar que las derivadas de la función objetivo sean distintas de cero cuando la densidad se vuelve cero. Cuanto mayor sea el factor de penalización, mayor será la penalización del algoritmo SIMP al usar densidades no binarias. Desafortunadamente, el parámetro de penalización también introduce no convexidades al problema.

Existen varios software comerciales de optimización topológica en el mercado. La mayoría utiliza la optimización topológica como una guía para el diseño óptimo y requiere la reconstrucción manual de la geometría. Existen algunas soluciones que generan diseños óptimos listos para la manufactura aditiva.^[5]

Una estructura rígida es aquella que presenta el menor desplazamiento posible bajo ciertas condiciones de contorno. Una medida global de los desplazamientos es la energía de deformación (también llamada flexibilidad) de la estructura bajo las condiciones de contorno prescritas. Cuanto menor sea la energía de deformación, mayor será la rigidez de la estructura. Por lo tanto, la función objetivo del problema es minimizar la energía de deformación.

En general, se puede visualizar que a mayor cantidad de material, menor será la deflexión, ya que habrá más material para resistir las cargas. Por lo tanto, la optimización requiere una restricción opuesta: la restricción de volumen. En realidad, esto es un factor de costo, ya que no se desea invertir mucho dinero en el material. Para obtener el material total utilizado, se puede realizar una integración del campo de selección sobre el volumen.

Finalmente, se introducen las ecuaciones diferenciales que gobiernan la elasticidad para obtener la formulación final del problema:

${\displaystyle \min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma }$ :\mathbf {\varepsilon } \,\mathrm {d} \Omega }

sujeto a:

• ${\displaystyle \rho \,\in \,[0,\,1]}$
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} \Omega \;\leq \;V^{*}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\sigma } \,+\,\mathbf {F} \;=\;{\mathbf {0} }}$
• ${\displaystyle \mathbf {\sigma } \;=\;{\mathsf {C}}:\mathbf {\varepsilon } }$

Sin embargo, una implementación sencilla en el marco de elementos finitos de tal problema aún no es factible debido a cuestiones como:

1. Dependencia de la malla: El diseño obtenido en una malla puede ser muy diferente al obtenido en otra. Las características del diseño se vuelven más complejas a medida que la malla se refina.^[6]
2. Inestabilidades numéricas : un pequeño cambio en un parámetro de entrada puede producir un gran cambio en la solución calculada.^[7]

Algunas técnicas, como el filtrado, basado en el procesamiento de imágenes,^[8] se utilizan actualmente para mitigar algunos de estos problemas. Aunque durante mucho tiempo pareció que se trataba de un enfoque puramente heurístico, se han establecido conexiones teóricas con la elasticidad no local para respaldar el sentido físico de estos métodos.^[9]

La interacción fluido-estructura es un fenómeno fuertemente acoplado que se refiere a la interacción entre un fluido estacionario o en movimiento y una estructura elástica. Muchas aplicaciones de ingeniería y fenómenos naturales están sujetas a interacciones fluido-estructura, por lo que considerar estos efectos es crucial en el diseño de diversas aplicaciones de ingeniería. La optimización topológica para problemas de interacción fluido-estructura se ha estudiado en, por ejemplo, las referencias,^{[10][11] [12]} y.^[13] A continuación, se muestran soluciones de diseño para diferentes números de Reynolds. Las soluciones de diseño dependen del flujo, lo que indica que el acoplamiento entre el fluido y la estructura se resuelve en los problemas de diseño.

Solución de diseño y campo de velocidad para Re=1

Solución de diseño y campo de velocidad para Re=5

Solución de diseño y campo de velocidad para Re=10

Solución de diseño y campo de velocidad para Re=40

La termoelectricidad es un fenómeno multifísico que se refiere a la interacción y el acoplamiento entre la energía eléctrica y térmica en materiales semiconductores. La conversión de energía termoeléctrica se puede describir mediante dos efectos independientes: el efecto Seebeck y el efecto Peltier. El efecto Seebeck se refiere a la conversión de energía térmica en energía eléctrica, y el efecto Peltier a la conversión de energía eléctrica en energía térmica. Mediante la distribución espacial de dos materiales termoeléctricos en un espacio de diseño bidimensional mediante una metodología de optimización topológica,^[14] es posible superar el rendimiento de los materiales termoeléctricos constitutivos para refrigeradores y generadores termoeléctricos .^[15]

La actual proliferación de la tecnología de impresión 3D ha permitido a diseñadores e ingenieros utilizar técnicas de optimización topológica al diseñar nuevos productos. La optimización topológica, combinada con la impresión 3D, puede resultar en un menor peso, un mejor rendimiento estructural y una reducción del ciclo de diseño a fabricación, ya que los diseños, si bien eficientes, podrían no ser viables con técnicas de fabricación más tradicionales^{[cita requerida]}.

El contacto interno puede incluirse en la optimización topológica mediante la aplicación del método de contacto del tercer medio .^{[17] [18]} El método de contacto del tercer medio (TMC) es una formulación de contacto implícita, continua y diferenciable. Esto hace que el TMC sea adecuado para su uso con enfoques de optimización topológica basados en gradientes. Tanto los enfoques monolíticos^[19] como los escalonados,^[16][20] más comunes en la optimización topológica, se han utilizado para crear diversos diseños con contacto interno. Recientemente, el contacto térmico se ha incluido en el marco de optimización topológica del TMC ^[21]