Ortoedro áureo

Un ortoedro áureo es un ortoedro en el que sus lados tienen las dimensiones de los segmentos de las proporciones áureas, esto es: Dando a una de las dimensiones el valor de la unidad: 1, la otra tendría el valor de φ, y la otra de la suma de las dos, φ + 1.

Valor de la diagonal espacial (entre los vértices opuestos).

Basándonos en el Teorema de Pitágoras, en particular en su extensión en el espacio, podemos calcular la diagonal espacial del ortoedro de la siguiente forma:

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Siendo a, b y c los lados del ortoedro, substituimos por su valor y obtenemos:

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {(\varphi +1)^{2}+\varphi ^{2}+1^{2}}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {\varphi ^{2}+2\varphi +1^{2}+\varphi ^{2}+1^{2}}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2\varphi ^{2}+2\varphi +2}}}$

${\displaystyle Siendo:\,\varphi =\,{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx \,1,618033988749894848204586834365638117720309...}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}+2{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}+2}}=\,{\sqrt {6+2{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle Siendo:\,\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{2}=1+2{\sqrt {5}}+5=6+2{\sqrt {5}}}$

${\displaystyle D\,=\,1+{\sqrt {5}}=\,2\varphi \,\approx \,3,2360679775}$

De forma más elegante:

Vemos que:

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1\ }$

${\displaystyle \varphi ^{2}={\frac {(1+{\sqrt {5}})^{2}}{2^{2}}}={\frac {1+2{\sqrt {5}}+5}{2^{2}}}={\frac {6+2{\sqrt {5}}}{2^{2}}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \varphi +1={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}+{\frac {2}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Entonces:

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2\varphi ^{2}+2\varphi +2}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2(\varphi +1)+2\varphi +2}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {4\varphi +4}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {4(\varphi +1)}}=\,{\sqrt {4\varphi ^{2}}}=\,2\varphi }$

Aplicando estos resultados nos encontramos con un ortoedro en el que sus lados miden:

${\displaystyle a=\varphi ^{2},\,b=\varphi ,\,c=(\varphi ^{2}-\varphi )=1\,}$

y cuya diagonal es ${\displaystyle D=2\varphi }$