Cuantificador universal

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

${\displaystyle A\subset B\;\land \;A\neq B\;\land \;A\neq \varnothing }$

Todo elemento x de A pertenece a B:

${\displaystyle \forall x\in A\;\Rightarrow \;x\in B}$

Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes:

${\displaystyle \lnot \forall y\in B:\;y\in A\,}$

Es decir: no para todo elemento y de B se cumple que y también pertenezca a A.

Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:

${\displaystyle \forall x\ P(x)\;\Leftrightarrow \;\lnot \exists x\ \lnot P(x)\,}$

que podríamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).

Según el ejemplo anterior:

${\displaystyle \forall x\in A:\;x\in B\,}$

Para todo x que pertenece a A, se cumple que x pertenece a B. Que podemos expresar:

${\displaystyle \lnot \exists x\in A:\;x\notin B\,}$

No existe un x de A, que cumpla que x no esté en B.

• cuantificador existencial
• lógica de primer orden