Peine del topólogo

Consideremos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ con su topología estándar, y sea ${\displaystyle K}$ el conjunto ${\displaystyle K=\{1/n~|~n\in \mathbb {N} \}}$.

El peine del topólogo, ${\displaystyle P}$, es el subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ definido por

${\displaystyle P=(\{0\}\times [0,1])\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})}$

El peine reducido, ${\displaystyle R}$, se define como:

${\displaystyle R=(\{0\}\times \{0,1\})\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})}$.

Es decir, el peine reducido consiste en remover el segmento ${\displaystyle \{0\}\times (0,1)}$ del peine del topólogo.

El espacio peine y el espacio peine reducido tienen algunas propiedades topológicas interesantes, sobre todo relacionadas con la noción de conexidad.

1. El espacio peine es un ejemplo de un espacio conexo que no es localmente arco-conexo.

2. El peine reducido es conexo, pero no arco-conexo, ya que no hay ningún camino desde el (0,1) hacia el (0,0).

• Seno del topólogo