Perfil de Navarro–Frenk–White

La integral de la densidad cuadrada es

${\displaystyle \int _{0}^{R_{\max }}4\pi r^{2}\rho (r)^{2}\,dr={\frac {4\pi }{3}}R_{s}^{3}\rho _{0}^{2}\left[1-{\frac {R_{s}^{3}}{(R_{s}+R_{\max })^{3}}}\right]}$

por lo que la densidad cuadrática media dentro de ${\displaystyle R_{\mathrm {max} }}$ es

${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle _{R_{\max }}={\frac {R_{s}^{3}\rho _{0}^{2}}{R_{\max }^{3}}}\left[1-{\frac {R_{s}^{3}}{(R_{s}+R_{\max })^{3}}}\right]}$

que para el radio virial se simplifica de la siguiente forma

${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle _{R_{\mathrm {vir} }}={\frac {\rho _{0}^{2}}{c^{3}}}\left[1-{\frac {1}{(1+c)^{3}}}\right]\approx {\frac {\rho _{0}^{2}}{c^{3}}}}$

y la densidad cuadrática media dentro del radio es simplemente

${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle _{R_{s}}={\frac {7}{8}}\rho _{0}^{2}}$

Resolviendo la ecuación de Poisson obtenemos el potencial gravitatorio

${\displaystyle \Phi (r)=-{\frac {4\pi G\rho _{0}R_{s}^{3}}{r}}\ln \left(1+{\frac {r}{R_{s}}}\right)}$

con los límites ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\Phi =0}$ y ${\displaystyle \lim _{r\to 0}\Phi =-4\pi G\rho _{0}R_{s}^{2}}$

La aceleración debida al potencial NFW es

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=-{\frac {d\Phi _{\rm {NFW}}(r)}{d{\overrightarrow {r}}}}=G{\frac {M_{\rm {vir}}}{\ln {(1+c)}-c/(1+c)}}{\frac {r/(r+R_{s})-\ln {(1+r/R_{s})}}{r^{3}}}{\overrightarrow {r}}}$

donde ${\displaystyle M_{\rm {vir}}={\frac {4\pi }{3}}r_{\rm {vir}}^{3}200\rho _{\rm {crit}}}$.

El radio de la velocidad circular máxima (al que, probablemente causando confusión, nos referimos a veces también como ${\displaystyle R_{\max }}$) pueded encontrarse del máximo de ${\displaystyle M(r)/r}$, obteniendo

${\displaystyle R_{\mathrm {circ} }^{\max }=\alpha R_{s}}$

donde ${\displaystyle \alpha \approx 2.16258}$ es la raíz positiva de

.${\displaystyle \ln \left(1+\alpha \right)={\frac {\alpha (1+2\alpha )}{(1+\alpha )^{2}}}}$

La velocidad circular máxima está también relacionada con la densidad característica y la escala de longitud del perfil NFW:

${\displaystyle V_{\mathrm {circ} }^{\max }\approx 1.64R_{s}{\sqrt {G\rho _{s}}}}$

En un amplio rango de masa del halo y desplazamiento al rojo, el perfil NFW se aproxima a la configuración de equilibrio de los halos de materia oscura producida en simulaciones de partículas de materia oscura sin colisiones por numerosos grupos de científicos.^[4] Antes de que la materia oscura se virialice, la distribución de la materia oscura se desvía de un perfil NFW, y se observa una subestructura significativa en las simulaciones tanto durante como después del colapso de los halos. Se ha demostrado que los modelos alternativos, en particular el perfil de Einasto, representan los perfiles de materia oscura de los halos simulados tan bien o mejor que el perfil NFW al incluir un tercer parámetro adicional.^[5][6] El perfil de Einasto tiene una pendiente central finita (cero), a diferencia del perfil NFW que tiene una densidad central divergente (infinita). Debido a la limitada resolución de las simulaciones de N cuerpos, aún no se sabe qué modelo proporciona la mejor descripción de las densidades centrales de los halos de materia oscura simulados. Las simulaciones que asumen diferentes condiciones cosmológicas iniciales producen poblaciones de halo en las que los dos parámetros del perfil NFW siguen diferentes relaciones de concentración de masa, dependiendo de propiedades cosmológicas como la densidad del universo y la naturaleza del proceso muy temprano que creó toda la estructura. Por tanto, las mediciones observacionales de esta relación ofrecen una vía para restringir estas propiedades.^[7]