Permitividad del vacío

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El valor de ε₀ está definido por la fórmula^[3]

${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}}$

donde c es el valor definido para la velocidad de la luz en el vacío en el Sistema Internacional de Unidades,^[4]: 127 y μ₀ es el parámetro que las organizaciones internacionales de normalización llaman "constante magnética" (comúnmente llamada permeabilidad del vacío o permeabilidad del espacio libre). Dado que μ₀ tiene un valor aproximado de 4π × 10⁻⁷ H/m,^[5] y c tiene el valor definido de 299792458 m⋅s⁻¹, se deduce que ε₀ se puede expresar numéricamente como

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{0}&\approx {\frac {1}{\left(4\pi \times 10^{-7}\,{\textrm {N/A}}^{2}\right)\left(299792458\,{\textrm {m/s}}\right)^{2}}}\\[2pt]&={\frac {625000}{22468879468420441\pi }}\,{\textrm {F/m}}\\[2pt]&\approx 8.85418781762039\times 10^{-12}\,{\textrm {F}}{\cdot }{\textrm {m}}^{-1}\end{aligned}}}$

(o A²⋅s⁴⋅kg⁻¹⋅m⁻³ en unidades básicas del Sistema Internacional, o C²⋅N⁻¹⋅m⁻² o C⋅V⁻¹⋅m⁻¹ usando otras unidades coherentes del SI).^[6][7]

Los orígenes históricos de la constante dieléctrica ε₀ y su valor se explican con más detalle a continuación.

El amperio se redefinió estableciendo la carga eléctrica como un número exacto de culombios a partir del 20 de mayo de 2019,^[4] con el efecto de que la permitividad eléctrica del vacío ya no tiene un valor exactamente determinado en unidades del SI. El valor de la carga del electrón se convirtió en una cantidad definida numéricamente, no medida, haciendo de μ₀ una cantidad medida. En consecuencia, ε₀ no es un valor exacto. Como antes, se define mediante la ecuación ε₀= 1/(μ₀c²) y, por lo tanto, está determinado por el valor de μ₀, la permeabilidad magnética del vacío, que a su vez está determinada por la constante de estructura fina adimensional α, determinado experimentalmente:

${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}={\frac {e^{2}}{2\alpha hc}}\ ,}$

siendo e la carga eléctrica, h la constante de Planck y c la velocidad de la luz en el vacío, cada uno con valores exactamente definidos. La incertidumbre relativa en el valor de ε₀ es, por lo tanto, la misma que para la constante de estructura fina adimensional, es decir, 1.5×10⁻¹⁰.^[8]

Históricamente, el parámetro ε₀ ha sido conocido por muchos nombres diferentes. Están muy extendidos los términos "permitividad del vacío" o sus variantes, como "permitividad en/del vacío",^[9][10] "permitividad del espacio vacío",^[11] o "permitividad del vacío".^[12] Las organizaciones de normalización de todo el mundo utilizan ahora "constante eléctrica" como término uniforme para esta cantidad,^[6] y los documentos de normas oficiales han adoptado el término (aunque continúan enumerando los términos más antiguos como sinónimos).^[13][14]

Otro sinónimo histórico fue "constante dieléctrica del vacío", ya que en el pasado se usaba a veces "constante dieléctrica" para denominar a la permitividad absoluta.^[15][16] Sin embargo, en el uso moderno, "constante dieléctrica" normalmente se refiere exclusivamente a la permitividad relativa ε/ε₀ e incluso este uso es considerado "obsoleto" por algunos organismos de normalización a favor de permitividad estática relativa.^[14][17] Por lo tanto, la mayoría de los autores modernos consideran obsoleto el término "constante dieléctrica del vacío" para la constante eléctrica ε₀, aunque se pueden encontrar ejemplos ocasionales de su uso continuado.

En cuanto a la notación, la constante se puede indicar mediante ε₀ o ϵ₀, utilizando cualquiera de los dos glifos comunes para la letra ε.

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Como se indicó anteriormente, el parámetro ε₀ es una constante del sistema de medición. Su presencia en las ecuaciones que ahora se utilizan para definir cantidades electromagnéticas es el resultado del proceso llamado "racionalización" que se describe a continuación. Pero el método para asignarle un valor es consecuencia del resultado de que las ecuaciones de Maxwell predicen que, en el espacio libre, las ondas electromagnéticas se mueven a la velocidad de la luz. Comprender por qué ε₀ tiene el valor que tiene requiere una breve comprensión de la historia.

Los experimentos de Coulomb y otros demostraron que la fuerza "F" entre dos "cantidades" puntuales iguales de electricidad que están situadas a una distancia "r" entre sí en el vacío, debería estar dada por una fórmula que tiene la forma

${\displaystyle F=k_{\text{e}}{\frac {Q^{2}}{r^{2}}},}$

donde Q representa la cantidad de electricidad presente en cada uno de los dos puntos, y k_e es la constante de Coulomb. Si se comienza sin restricciones, entonces el valor de k_e se puede elegir arbitrariamente.^[18] Para cada elección diferente de k_e hay una "interpretación" diferente de Q: para evitar confusiones, a cada "interpretación" diferente se le debe asignar un nombre y un símbolo distintivos.

En uno de los sistemas de ecuaciones y unidades acordados a finales del siglo XIX, llamado "sistema de unidades electrostático centímetro-gramo-segundo" (el sistema cgs esu), la constante k_e se tomó igual a 1, y una cantidad ahora llamada "carga eléctrica gaussiana" q_s fue definida por la ecuación resultante

${\displaystyle F={\frac {{q_{\text{s}}}^{2}}{r^{2}}}.}$

La unidad de carga gaussiana, el estatoculombio, es tal que dos unidades, separadas por una distancia de 1 centímetro, se repelen con una fuerza igual a la unidad de fuerza cgs, la dina. Por lo tanto, la unidad de carga gaussiana también se puede escribir 1 dina^1/2 cm. La "carga eléctrica gaussiana" no es la misma cantidad matemática que la carga eléctrica moderna (MKS y posteriormente del SI) y no se mide en culombios.

Posteriormente se desarrolló la idea de que sería mejor, en situaciones de geometría esférica, incluir un factor 4π en ecuaciones como la ley de Coulomb y escribirlo en la forma:

${\displaystyle F=k'_{\text{e}}{\frac {{q'_{\text{s}}}^{2}}{4\pi r^{2}}}.}$

Esta idea se llama "racionalización". Las cantidades q_s′ y k_e′ no son las mismas que las de la convención anterior. Poner k_e′= 1 genera una unidad de electricidad de diferente tamaño, pero aún tiene las mismas dimensiones que el sistema cgs esu.

El siguiente paso fue tratar la cantidad que representa la "cantidad de electricidad" como una cantidad fundamental por derecho propio, denotada por el símbolo q, y escribir la Ley de Coulomb en su forma moderna:

${\displaystyle \ F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{r^{2}}}.}$

El sistema de ecuaciones así generado se conoce como sistema de ecuaciones racionalizado metro-kilogramo-segundo (rmks), o sistema de ecuaciones "metro-kilogramo-segundo-amperio (mksa)". La nueva cantidad q recibe el nombre de "carga eléctrica rmks", o (hoy en día) simplemente "carga eléctrica". La cantidad q_s utilizada en el antiguo sistema cgs esu está relacionada con la nueva cantidad q mediante:

${\displaystyle \ q_{\text{s}}={\frac {q}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}.}$

En la redefinición de las unidades del SI la carga elemental se fija en 1,602176634 10⁻¹⁹ amperios-segundo y el valor de la permitividad del vacío debe determinarse experimentalmente.^[19]: 132

Ahora se añade el requisito de que se quiere medir la fuerza en newtons, la distancia en metros y la carga en la unidad práctica de los ingenieros, el culombio, que se define como la carga acumulada cuando fluye una corriente de 1 amperio por segundo. Esto muestra que al parámetro ε₀ se le debe asignar la unidad C²⋅N⁻¹⋅m⁻² (o unidades equivalentes, en la práctica "faradios por metro").

Para establecer el valor numérico de ε₀, se hace uso del hecho de que si se utilizan las formas racionalizadas de la ley de Coulomb y de la ley de la fuerza de Ampère (y otras ideas) para desarrollar las ecuaciones de Maxwell, entonces se encuentra que existe la relación establecida anteriormente entre ε₀, μ₀ y c₀. En principio, se tiene la opción de decidir si hacer del culombio o del amperio la unidad fundamental de la electricidad y el magnetismo. Se tomó la decisión internacional de utilizar el amperio. Esto significa que el valor de ε₀ está determinado por los valores de c₀ y μ₀, como se indicó anteriormente. Para obtener una breve explicación de cómo se decide el valor de μ₀, consúltese permeabilidad del vacío.

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Por convención, la constante eléctrica ε₀ aparece en la relación que define la densidad de flujo eléctrico D' en términos del campo eléctrico E y de la densidad de polarización eléctrica clásica P del medio. En general, esta relación tiene la forma:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$

Para un dieléctrico lineal, se supone que P es proporcional a E, pero se permite una respuesta retardada y una respuesta espacialmente no local, por lo que se tiene que:^[20]

${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,\ t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\int d^{3}\mathbf {r} '\ \varepsilon \left(\mathbf {r} ,\ t;\mathbf {r} ',\ t'\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',\ t'\right).}$

En el caso de que la no localidad y el retraso de la respuesta no sean importantes, el resultado es:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon _{\text{r}}\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$

donde ε es la permitividad y ε_r la permitividad estática relativa. En el vacío del electromagnetismo clásico, la polarización es P= 0; y entonces ε_r= 1 y ε= ε₀.

Eugène Hecht, en su libro “Óptica”, da esta interpretación: «Conceptualmente, la permitividad representa, por tanto, el comportamiento eléctrico del medio. Es, en cierto sentido, una medida del grado en que el material es sensible al campo eléctrico en el que se encuentra».^[21]

Por tanto, la permitividad del vacío puede verse como la respuesta del vacío en presencia de un campo eléctrico: si fuera mayor, esto fortalecería aún más la capacidad de los conductores para almacenar cargas. Por otro lado, el campo eléctrico creado por la misma cantidad de carga se reduciría, ya que se necesitaría una mayor superficie cargada eléctricamente para ejercer una fuerza idéntica.