Plano proyectivo
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El plano proyectivo es el conjunto estudiado por la geometría proyectiva. Surge en geometría euclidiana al añadir a un plano un punto por cada familia de rectas paralelas (es decir, uno por cada par de direcciones opuestas). Los puntos así añadidos reciben el nombre de puntos del infinito, y su introducción unifica y simplifica mucho los enunciados de la geometría. Por ejemplo, la afirmación que dice que dos rectas de un plano se cortan en un único punto o son paralelas, en el plano proyectivo se enuncia: Dos rectas siempre se cortan en un único punto.
La geometría proyectiva surge realmente al estudiar «solamente» las relaciones de incidencia cuando los puntos ordinarios y los puntos del infinito se consideran en pie de igualdad. Una forma de visualizar la geometría proyectiva es tomar un punto P exterior al plano y definirlo como las proyecciones de los elementos tridimensionales sobre un plano. Cada punto del plano define claramente una recta que pasa por P; pero así no obtenemos todas las rectas que pasan por P: faltan las rectas paralelas al plano dado, que se corresponden precisamente con las direcciones del plano.
Los puntos del plano proyectivo se corresponden naturalmente con las rectas que pasan por P, y las rectas del plano proyectivo con los planos que pasan por P. Esta correspondencia conserva las relaciones de incidencia, es un isomorfismo entre sus respectivas estructuras. Podemos definir sin más el plano proyectivo como la radiación de rectas de vértice un punto dado P. Además esta perspectiva permite introducir también la recta proyectiva, como radiación de rectas de vértice dado en un plano, y espacios proyectivos tridimensionales, como radiación de rectas que pasan por el origen en un espacio vectorial de dimensión 4, o de cualquier otra dimensión n (sin más que considerar espacios vectoriales de dimensión n+1).
De la pobreza de enunciados a su riqueza
Viendo sus dos principios (dos rectas se cortan en un punto y dos puntos definen una recta), la geometría proyectiva parece la más pobre de todas las geometrías, pues en sus enunciados sólo interviene el concepto de incidencia. No admite los conceptos de paralelismo, de perpendicularidad, distancia o ángulo. Solo permite enunciados de incidencia tales como:
- «Por dos puntos pasa una única recta» o bien
- Teorema de Desargues: «Si las tres rectas que unen los vértices de dos triángulos concurren en un punto, entonces los tres puntos de corte de las prolongaciones de los lados correspondientes están alineados».
Sin embargo, según hemos visto, los enunciados geométricos en que además interviene el concepto de paralelismo (la llamada geometría afín) pueden reformularse en el plano proyectivo sin más que fijar una recta, recta que entonces recibe el nombre de «recta del infinito». Así, todo enunciado afín admite un enunciado proyectivo equivalente, y la geometría afín puede verse como una pequeña parte de la geometría proyectiva: es la geometría de un plano proyectivo con una recta prefijada (o un plano en el espacio proyectivo, etc.). Igualmente se vio que la geometría euclídea se obtiene al fijar dos puntos complejos conjugados en la recta del infinito (los puntos donde cortan todas las circunferencias), quedando así englobada en la geometría proyectiva: es la geometría de un plano proyectivo donde se han fijado dos puntos complejos conjugados de una recta. Incluso la geometría hiperbólica, la primera de las geometrías no euclídeas, puede obtenerse fijando una cónica: los puntos de la geometría son los puntos interiores de la cónica, las rectas son las secciones del interior de la cónica con rectas, y la distancia entre dos puntos A, B es esencialmente su razón doble con los puntos de corte P, Q de la recta AB con la cónica dada:
d(A,B) := | ln(A,B;P,Q) |
De este modo, la geometría proyectiva, la más humilde de todas, pasó a ser «la reina de la geometría».
