Polígono bicéntrico

Cada triángulo es bicéntrico.^[1] En un triángulo, los radios r y R de su circunferencia inscrita y de su circunferencia circunscrita respectivamente están relacionados por la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}}$

donde x es la distancia entre los centros de las dos circunferencias.^[2] Esta es una versión de la fórmula del triángulo de Euler.

No todos los cuadrilátero son bicéntricos (es decir, poseen tanto un incírculo como un excírculo). Dados dos círculos (uno dentro del otro) con radios R y r donde ${\displaystyle R>r}$, existe un cuadrilátero convexo inscrito en uno de ellos y tangente al otro si y solo si sus radios satisfacen que

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

donde x es la distancia entre sus centros.^[2][3] Esta condición (y condiciones análogas para polígonos de orden superior) se conoce como teorema de Fuss.^[4]

Se conoce una fórmula general complicada para cualquier número n de lados para la relación entre el circunradio R, el inradio r y la distancia x entre el circuncentro y el incentro.^[5] Algunas fórmulas para determinados n, son:

${\displaystyle n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},}$

${\displaystyle n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},}$

${\displaystyle n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},}$

donde ${\displaystyle p={\tfrac {R+x}{r}}}$ y ${\displaystyle q={\tfrac {R-x}{r}}.}$

Cada polígono regular es bicéntrico.^[2] En un polígono regular, el incírculo y el circuncírculo son concéntricos; es decir, comparten un centro común, que también es el centro del polígono regular, por lo que la distancia entre el incentro y el circuncentro siempre es cero. El radio del círculo inscrito es el apotema (la distancia más corta desde el centro hasta el límite del polígono regular).

Para cualquier polígono regular, las relaciones entre las longitudes del lado a, el radio r del incírculo y el radio R del excírculo son:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.}$

Para algunos polígonos regulares que pueden ser construidos con regla y compás, se tienen las siguientes fórmulas algebraicas para estas relaciones:

${\displaystyle n\!\,}$	${\displaystyle R\,{\text{y}}\,a\!\,}$	${\displaystyle r\,{\text{y}}\,a\!\,}$	${\displaystyle r\,{\text{y}}\,R\!\,}$
3	${\displaystyle R{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle 2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R\!\,}$
4	${\displaystyle R{\sqrt {2}}=a\!\,}$	${\displaystyle r={\frac {a}{2}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R{\sqrt {2}}\!\,}$
5	${\displaystyle R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,}$	${\displaystyle r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,}$	${\displaystyle r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,}$
6	${\displaystyle R=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,}$
8	${\displaystyle R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,}$	${\displaystyle r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,}$	${\displaystyle 2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,}$
10	${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,}$	${\displaystyle 2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,}$

Así, se obtienen las siguientes aproximaciones decimales:

${\displaystyle n\!\,}$		${\displaystyle R/a\!\,}$		${\displaystyle r/a\!\,}$		${\displaystyle R/r\!\,}$
${\displaystyle 3\,}$		${\displaystyle 0.577\,}$		${\displaystyle 0.289}$		${\displaystyle 2.000\,}$
${\displaystyle 4}$		${\displaystyle 0.707\,}$		${\displaystyle 0.500}$		${\displaystyle 1.414\,}$
${\displaystyle 5}$		${\displaystyle 0.851\,}$		${\displaystyle 0.688}$		${\displaystyle 1.236\,}$
${\displaystyle 6}$		${\displaystyle 1.000\,}$		${\displaystyle 0.866}$		${\displaystyle 1.155\,}$
${\displaystyle 8}$		${\displaystyle 1.307\,}$		${\displaystyle 1.207}$		${\displaystyle 1.082\,}$
${\displaystyle 10}$		${\displaystyle 1.618\,}$		${\displaystyle 1.539}$		${\displaystyle 1.051\,}$