Polinomio de Bernstein

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Un polinomio de Bernstein ${\displaystyle P(x)\,}$ de orden n aproxima una función ${\displaystyle f(x)\,}$ en un intervalo, mejor cuanto mayor sea n, a partir de esta fórmula:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}B_{i}^{n}(x)}}$

donde los ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)}$ son elementos de la distribución binomial respecto de la variable ${\displaystyle x\,}$ y los ${\displaystyle c_{i}\,}$ son valores de la función que queremos aproximar.

Para aproximar la función en el intervalo ${\displaystyle [0,1]\,}$ estos elementos toman los siguientes valores:

${\displaystyle c_{i}=f\left({\frac {i}{n}}\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}}$

(aquí ${\displaystyle {n \choose i}}$ es el coeficiente binomial).

y más en general transformando las ecuaciones para un intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$, los ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}}$ se convierten en polinomios de la base de Bernstein:

${\displaystyle c_{i}=f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}}$

Así, la fórmula general desarrollada es:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right){\frac {n!}{i!(n-i)!}}{\frac {(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}}{(b-a)^{n}}}}}$

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Para un grado n, existen n+1 polinomios de Bernstein ${\displaystyle B_{0}^{n},\dots ,B_{n}^{n}}$ definidos sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$ , por

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}}$

Estos polinomios presentan estas propiedades importantes, que cumplen para cualquier valor de ${\displaystyle x\,}$ en el intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$

1. Partición de la unidad : ${\displaystyle \qquad \sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(x)=1}$
2. Positividad : ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)\geq 0,\qquad \forall i\in 0\dots n}$
3. Simetría : ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)=B_{n-i}^{n}(1-x),\qquad \forall i\in 0\dots n}$

Las dos primeras propiedades nos indican que forman una combinación convexa. La modificación por escala y traslación de intervalo no influye sobre los coeficientes del polinomio en cuestión. Se ha de notar la gran semejanza de estos polinomios con la distribución binomial.

Para el intervalo ${\displaystyle [0,1]\,}$ existe esta fórmula de recurrencia:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)={\begin{cases}(1-x)B_{i}^{n-1}(x),&i=0\\(1-x)B_{i}^{n-1}(x)+xB_{i-1}^{n-1}(x),&i=1\dots n-1\\xB_{i-1}^{n-1}(x),&i=n\end{cases}}}$.

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En el caso de un polinomio de orden ${\displaystyle 2}$ la base en ${\displaystyle [0,1]\,}$ está compuesta de:

• ${\displaystyle B_{0}^{2}(x)={2 \choose 0}x^{0}(1-x)^{2-0}=(1-x)^{2}}$
• ${\displaystyle B_{1}^{2}(x)={2 \choose 1}x^{1}(1-x)^{2-1}=2x(1-x)}$
• ${\displaystyle B_{2}^{2}(x)={2 \choose 2}x^{2}(1-x)^{2-2}=x^{2}}$

Un polinomio expresado en esta base tendría entonces la forma:

${\displaystyle P(x)=c_{0}B_{0}^{2}(x)+c_{1}B_{1}^{2}(x)+c_{2}B_{2}^{2}(x)=f(0)(1-x)^{2}+2f\left({\frac {1}{2}}\right)x(1-x)+f(1)x^{2}}$

Si aproximamos ${\displaystyle f_{1}(x)=x\,}$ obtenemos el mismo polinomio: ${\displaystyle P_{1}(x)=x\,}$

si evaluamos ${\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}\,}$ aproxima a: ${\displaystyle P_{2}(x)={\frac {x^{2}+x}{2}}\,}$

y probando con ${\displaystyle f_{3}(x)=e^{x}\,}$ resulta: ${\displaystyle P_{3}(x)=(1-x)^{2}+2{\sqrt {e}}\,x(1-x)+ex^{2}\approx \ 0.421x^{2}+1.29x+1\,}$

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Los polinomios de Bernstein son una herramienta fundamental en la teoría de la aproximación. Su principal aplicación histórica fue proporcionar una demostración constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass, mostrando que toda función continua en un intervalo cerrado puede aproximarse uniformemente por polinomios.

Además, los polinomios de Bernstein se utilizan en:

• El diseño de curvas de Bézier y superficies en CAD y gráficos por computadora.
• La estimación de funciones de densidad de probabilidad mediante aproximaciones suaves.
• La interpolación y aproximación de funciones en general.

Para una función continua ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$, el polinomio de Bernstein de grado ${\displaystyle n}$ se define como

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{k=0}^{n}f\!\left({\frac {k}{n}}\right){\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k},}$

y se tiene la convergencia uniforme ${\displaystyle B_{n}(f)\to f}$ cuando ${\displaystyle n\to \infty }$. Además, se cumple la siguiente estimación del error:

${\displaystyle |B_{n}(f)(x)-f(x)|\leq {\frac {5}{4}}\,\omega \!\left(f,{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right),}$

donde ${\displaystyle \omega (f,\delta )}$ es el módulo de continuidad de ${\displaystyle f}$, definido como

${\displaystyle \omega (f,\delta )=\sup\{|f(u)-f(v)|:u,v\in [0,1],\ |u-v|\leq \delta \}.}$

Esta cota garantiza que la aproximación mejora uniformemente al aumentar el grado del polinomio.

• Algoritmo de "De Casteljau"
• Curva de Beziér
• Aproximación de Bernstein, permite aproximar uniformemente funciones continuas.