Proceso de nacimiento-muerte

Recordemos que un proceso nacimiento-muerte se caracteriza por ser una cadena de Markov con un espacio de estados ${\displaystyle S=\{0,1,...,I\}}$ donde todas las transiciones se dan entre estados adyacentes de la cadena. La distribución de probabilidad asociada al estado i-ésimo entonces adquiere la forma siguiente:

${\displaystyle \pi _{i}\lambda _{i}=\pi _{i+1}\mu _{i+1}}$

Y la condición de normalización es la siguiente: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{I}\pi _{i}=1}$ . Se pueden resolver las ecuaciones como sigue:

${\displaystyle \pi _{i}=\pi _{0}\prod _{j=1}^{i}{\frac {\lambda _{j-1}}{\mu _{j}}}}$

Si aplicamos la condición de normalización se tiene que:

${\displaystyle 1=\pi _{0}\sum _{i=0}^{I}\prod _{j=1}^{i}{\frac {\lambda _{j-1}}{\mu _{j}}}\Rightarrow \pi _{0}=\left(\sum _{i=0}^{I}\prod _{j=1}^{i}{\frac {\lambda _{j-1}}{\mu _{j}}}\right)^{-1}}$

En consecuencia sabemos que si se satisface la condición:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{I}\prod _{j=1}^{i}{\frac {\lambda _{j-1}}{\mu _{j}}}<\infty }$

La distribución estacionaria existe.

• Latouche, G.; Ramaswami, V. (1999). «Quasi-Birth-and-Death Processes». Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling (1st edición). ASA SIAM. ISBN 0-89871-425-7. 
• Nowak, M. A. (2006). Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life. Harvard University Press. ISBN 0-674-02338-2. 
• Virtamo, J. «Birth-death processes». 38.3143 Queueing Theory. Consultado el 2 de diciembre de 2019. 

• Karl Grill: Theorie Stochastischer Prozesse (en alemán)
• H. Dinges: Stochastik für Informatiker (en alemán)