Raíz unitaria

Considere un proceso estocástico en tiempo discreto ${\displaystyle \{y_{t},t=1,\ldots ,\infty \}}$, y supongamos que se puede escribir como un proceso autorregresivo de orden p:

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t}.}$

Aquí, ${\displaystyle \{\varepsilon _{t},t=0,\infty \}}$ es una serie no-correlacionada, lo que significa un proceso estocástico con media cero y varianza constante ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Por conveniencia se asume que ${\displaystyle y_{0}=0}$. Si ${\displaystyle m=1}$ es una raíz de la ecuación característica:

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

entonces el proceso estocástico tiene una raíz unitaria o, en su defecto, integrada de orden uno, lo que se denota como ${\displaystyle I(1)}$. Si m = 1 es una raíz de multiplicidad r, entonces el proceso estocástico es integrado de orden r, denotado por I(r).

El modelo autorregresivo de orden uno es,${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$, Tiene una raíz unitaria cuando ${\displaystyle a_{1}=1}$. En este ejemplo, la ecuación característica es ${\displaystyle m-a_{1}=0}$. La raíz de la ecuación es ${\displaystyle m=1}$.

Si el proceso tiene una raíz unitaria, entonces es una serie de tiempo no estacionaria. Es decir, los momentos del proceso estocástico de t. Para ilustrar el efecto de una raíz unitaria, podemos considerar el primer caso orden, comenzando a partir de y₀ = 0:

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Por sustitución repetida, podemos escribir ${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$. A continuación, la varianza de ${\displaystyle y_{t}}$ viene dada por:

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

La varianza depende de t desde ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$, mientras ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$. Tenga en cuenta que la varianza de la serie es divergente al infinito con t.

Además de los modelo autorregresivo y modelos autorregresivos de media móvil, otros modelos importantes surgen en el análisis de regresión, donde los errores del modelo pueden ellos mismos tener una serie de tiempo la estructura y por lo tanto pueden necesitar ser modelado por un proceso AR o ARMA que puede tener una raíz unitaria, como se discutió anteriormente. Las muestras finitas propiedades de los modelos de regresión con errores ARMA primera orden, incluidas las raíces de la unidad, se han analizado.^[3][4]

• Shocks a un proceso de raíz unitaria tienen efectos permanentes que no decaen como lo harían si el proceso fuese estacionaria
• Como se señaló anteriormente, un proceso de raíz unitaria tiene una variación que depende de t, y diverge hacia el infinito
• Si se sabe que una serie tiene una raíz unitaria, la serie puede ser diferenciada para que sea estacionaria. Por ejemplo, si una serie ${\displaystyle Y_{t}}$ es ${\displaystyle I(1)}$, la serie ${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$ es ${\displaystyle I(0)}$ (estacionaria). Por lo tanto se llama una serie estacionaria diferenciada.