Radical de un ideal

Sea ${\displaystyle R}$ un anillo conmutativo y sea ${\displaystyle I}$ un ideal del anillo. El conjunto ${\displaystyle {\sqrt {I}}={\text{rad }}I:=\{r\in R|\exists n\in \mathbb {N} ,r^{n}\in I\}}$ se denomina radical del ideal ${\displaystyle I}$ (o sencillamente radical de ${\displaystyle I}$).

Si ${\displaystyle a\in {\hbox{rad }}I}$ es que existe un entero ${\displaystyle n\geq 0}$ tal que ${\displaystyle a^{n}\in I}$. Así, si ${\displaystyle r\in R}$ es ${\displaystyle (ar)^{n}=a^{n}r^{n}\in I}$.

Si además ${\displaystyle b\in {\hbox{rad }}I}$ existirá otro entero ${\displaystyle m\geq 0}$ de manera que ${\displaystyle b^{m}\in I}$.

Por el Teorema del binomio:

${\displaystyle (a+b)^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}{n+m \choose i}a^{i}b^{n+m-i}}$

• Si ${\displaystyle i<n}$ entonces es ${\displaystyle n+m-n=m<n+m-i}$, luego el exponente de ${\displaystyle b}$ es mayor o igual que ${\displaystyle m}$, y así ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-i}=a^{i}(b^{m})b^{n+m-i-m}\in I}$.

• Si ${\displaystyle i\geq n}$ entonces es ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-i}=(a^{n})a^{i-n}b^{n+m-i}\in I}$ ya que ${\displaystyle a^{n}\in I}$.

En cualquier caso, cada sumando de ${\displaystyle (a+b)^{n+m}}$ está en ${\displaystyle I}$, que es un ideal de ${\displaystyle R}$, luego ${\displaystyle (a+b)^{n+m}\in I}$ y será ${\displaystyle a+b\in {\hbox{rad }}I}$.

Así ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$ es un ideal de ${\displaystyle R}$.

Un ideal ${\displaystyle I}$ de un anillo conmutativo y unitario ${\displaystyle R}$ se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si ${\displaystyle {\hbox{rad }}I=I}$. Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si ${\displaystyle P}$ es un ideal primo, entonces ${\displaystyle R/P}$ es un dominio integral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos ${\displaystyle \pi :R\longrightarrow R/I}$ la proyección canónica de ${\displaystyle R}$ sobre ${\displaystyle I}$, entonces ${\displaystyle {\hbox{rad }}I=\pi ^{-1}(N(R/I))}$ (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$ es un ideal de ${\displaystyle R}$; aquí, ${\displaystyle N(R)}$ es el nilradical de ${\displaystyle R}$, definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si ${\displaystyle r\in \pi ^{-1}(N(R/I))}$, entonces para algún ${\displaystyle n\geq 0}$, ${\displaystyle \pi (r)^{n}=\pi (r^{n})}$ es cero en ${\displaystyle R/I}$, y por tanto ${\displaystyle r^{n}}$ está en ${\displaystyle I}$. Recíprocamente, si ${\displaystyle r^{n}}$ está en ${\displaystyle I}$ para algún ${\displaystyle n\geq 0}$ será ${\displaystyle r^{n}\in I}$, entonces ${\displaystyle (\pi (r))^{n}=\pi (r^{n})}$es cero en ${\displaystyle R/I}$, y por tanto ${\displaystyle \pi (r)}$ está en ${\displaystyle N(R/I)}$.

Mediante el uso de la localización, podemos ver que ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$ es la intersección de todos los ideales primos de ${\displaystyle R}$ que contienen a ${\displaystyle I}$: cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a ${\displaystyle I}$ contienen a ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$. Si ${\displaystyle r}$ es un elemento de ${\displaystyle R}$ que no está en ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$, entonces sea ${\displaystyle S}$ el conjunto ${\displaystyle \{r^{n}:n\in \mathbb {Z} ,n>0\}}$. ${\displaystyle S}$ es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización ${\displaystyle S^{-1}R}$.

Sea ${\displaystyle R}$ un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de ${\displaystyle R}$ forman un ideal ${\displaystyle N}$. Sean ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ elementos nilpotentes de ${\displaystyle R}$ con ${\displaystyle a^{n}=0}$ y ${\displaystyle b^{m}=0}$. Probamos que ${\displaystyle a+b}$ es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :

${\displaystyle (a+b)^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}{n+m \choose i}a^{i}b^{n+m-i}}$

Para cada ${\displaystyle i}$, se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle i\geq n}$
• ${\displaystyle n+m-i\geq m}$

Esto dice que en cada expresión ${\displaystyle a^{i}\cdot b^{n+m-i}}$, o bien el exponente de ${\displaystyle a}$ será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si ${\displaystyle i<n}$ entonces es ${\displaystyle n+m-i>n+m-n=m}$, luego el exponente de ${\displaystyle b}$ es mayor o igual que ${\displaystyle m}$, y así ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-i}=a^{i}\cdot (b^{m})^{n+m-i-m}=a^{i}0^{n-i}=0}$), o bien el exponente de ${\displaystyle b}$ será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si ${\displaystyle i\geq n}$ entonces es ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-i}=(a^{n})^{i-n}b^{n+m-i}=0^{i-n}b^{n+m-i}=0}$). Así tenemos que ${\displaystyle a+b}$ es nilpotente, y por tanto está en ${\displaystyle N}$.

Para terminar de comprobar que ${\displaystyle N}$ es un ideal, cogemos un elemento arbitrario ${\displaystyle r\in R}$. ${\displaystyle (r\cdot a)^{n}=r^{n}\cdot a^{n}=r^{n}\cdot 0=0}$, así que ${\displaystyle r\cdot a}$ es nilpotente, y está por tanto en ${\displaystyle N}$. Con lo que ${\displaystyle N}$ es un ideal.

${\displaystyle N}$ se denomina entonces nilradical de ${\displaystyle R}$, o radical nilpotente de ${\displaystyle R}$, y se denota por ${\displaystyle N(R)}$. Al anillo ${\displaystyle {\frac {R}{N(R)}}}$ se le denomina anillo reducido (asociado a ${\displaystyle R}$), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.

Es inmediato comprobar que ${\displaystyle N(R/N(R))=\{0\}}$.

Es sencillo demostrar que ${\displaystyle N(R)={\hbox{rad }}0}$, esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo. Por esto, el nilradical de ${\displaystyle R}$ es la intersección de todos los ideales primos de ${\displaystyle R}$.