Retículo modular
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Un retículo modular en el sentido de la teoría del orden es un retículo que cumple la siguiente condición auto-dual (modularidad):
- implica que
Los retículos modulares ocurren en álgebra y en numerosas otras áreas de las matemáticas. Así, por ejemplo, los subespacios de un espacio vectorial (y, más en general, los submódulos de un módulo sobre un anillo) forman un retículo modular.
Todo retículo distributivo es modular.
Sin embargo, aún en un retículo no modular pueden existir elementos b que cumplan con la condición de modularidad en relación con elementos arbitrarios a y x (siendo x ≤ b). Un elemento b tal se denomina elemento modular. En términos aún más generales, pueden considerarse pares (a, b) de elementos, que cumplan con la condición de modularidad con respecto a todo elemento x. Un par de este tipo se denomina par modular y sobre la base de esta noción existen varias generalizaciones del concepto de modularidad relacionadas con el de semimodularidad.
La propiedad de modularidad puede considerarse como una propiedad asociativa restringida, por la que ambas operaciones reticulares se combinan de manera similar a como la propiedad asociativa λ(μx) = (λμ)x para espacios vectoriales combina la multiplicación en un cuerpo con la multiplicación escalar. La restricción x ≤ b se hace necesaria porque se sigue de x ∨ (a ∧ b) = (x ∨ a) ∧ b.
Es fácil comprobar que, en todo retículo, de x ≤ b se sigue x ∨ (a ∧ b) ≤ (x ∨ a) ∧ b. Por eso la propiedad de modularidad también puede formularse como sigue:
- Modularidad (variante)
- x ≤ b implica que x ∨ (a ∧ b) ≥ (x ∨ a) ∧ b.
Reemplazando x por el término x ∧ b, la propiedad de modularidad puede expresarse por medio de la siguiente ecuación, que deberá cumplirse sin más precondiciones:
- (x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [(x ∧ b) ∨ a] ∧ b.
Esto muestra (usando conceptos de álgebra universal), que los retículos modulares conforman una subvariedad de la variedad de los retículos. De allí que todas las imágenes homomorfas, subretículos y productos directos de retículos modulares sean a su vez modulares. El retículo no modular más simple es el "retículo pentagonal" N5, que consiste en los cinco elementos 0,1,x,a,b, de modo que 0 < x < b < 1, 0 < a < 1, siendo a incomparable con x y con b. En este retículo se cumple que x ∨ (a ∧ b) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = (x ∨ a) ∧ b, en contradicción con la propiedad de modularidad. Todo retículo no modular contiene un subretículo coincidente con N5.
Aludiendo a Richard Dedekind, descubridor de la propiedad de modularidad, los retículos modulares aún hoy siguen denominándose retículos de Dedekind.
Teorema del subretículo isomorfo al retículo diamante
Para cada par de elementos a,b de un retículo modular se pueden considerar los intervalos [a ∧ b, b] y [a, a ∨ b]. Entre estos intervalos existe las aplicaciones monótonas
- φ: [a ∧ b, b] → [a, a ∨ b] y
- ψ: [a, a ∨ b] → [a ∧ b, b],
definidas por φ(x) = x ∨ a y ψ(x) = x ∧ b.
En un retículo modular, las aplicaciones φ y ψ son isomorfismos mutuamente inversos.
Contraejemplo para el teorema del isomorfismo del diamante en un retículo no modular.
La composición ψφ es una aplicación monótona del intervalo [a ∧ b, b] sobre sí mismo, que además cumple la inecuación ψ(φ(x)) = (x ∨ a) ∧ b ≥ x. El ejemplo muestra que en el caso general no puede tratarse de una ecuación. En cambio, en el caso de un retículo modular siempre rige la ecuación. Como el retículo dual de un retículo modular tiene a su vez a este último como retículo dual, φψ es del mismo modo la aplicación de identidad sobre [a, a ∨ b]; por tanto φ y ψ son isomorfismos entre estos dos intervalos. Este resultado a veces se denomina teorema del subretículo isomorfo al retículo diamante para retículos modulares. Un retículo es modular si y solo si esta propiedad rige para cada par de elementos.
El teorema del subretículo isomorfo al retículo diamante para retículos modulares es análogo al tercer teorema de isomorfía del álgebra, además de una generalización del teorema del retículo.
