Secuencia de Riesz

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En matemáticas, una secuencia de vectores (x_n) en un espacio de Hilbert $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ es una secuencia de Riesz si existen constantes $0<c\leq C<+\infty$ tal que

c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)

para todas las secuencias de escalares (a_n) en el espacio ℓ². Una secuencia de Riesz es llamada base de Riesz si

{\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H

.

Si H es un espacio finito, entonces toda base de H es una base de Riesz.

Dado $\varphi$ en el espacio L^p L²(R), y sea

\varphi _{n}(x)=\varphi (x-n)

y sea ${\hat {\varphi }}$ la transformada de Fourier de ${\varphi }$ . Dadas las constantes c y C con $0<c\leq C<+\infty$ . Entonces tenemos las siguientes equivalencias:

1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)

2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C

La primera de las condiciones es la definición para que ( ${\varphi _{n}}$ ) forme una base de Riesz para el espacio generado por ( ${\varphi _{n}}$ ).

Véase también

Referencias

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