Tasa de Nyquist

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Cuando una función continua ${\displaystyle x(t)}$ se muestrea a una tasa constante ${\displaystyle f_{s}}$ «muestras/segundo», siempre existe un número ilimitado de otras funciones continuas que encajan con el mismo conjunto de muestras. Sin embargo, solo una de ellas está limitada en banda a ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s}}$ «ciclos/segundo» (hercio),^{[Nota 1]} lo que significa que su transformada de Fourier ${\displaystyle X(f)}$ es 0 para todo ${\displaystyle |f|\geq {\tfrac {1}{2}}f_{s}.}$ Los algoritmos matemáticos que normalmente se utilizan para reconstruir una función continua a partir de muestras generan aproximaciones arbitrariamente buenas a esta función teórica, pero de duración infinita. Se deduce que si la función original ${\displaystyle x(t)}$ está limitada en banda a ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s}}$, lo que se denomina «criterio de Nyquist», entonces es la única función que los algoritmos de interpolación están aproximando. En términos del ancho de banda propio de la función ${\displaystyle (B)}$, como se muestra aquí, el criterio de Nyquist se expresa frecuentemente como ${\displaystyle f_{s}>2B.}$ Y ${\displaystyle 2B}$ se denomina tasa de Nyquist para funciones con ancho de banda ${\displaystyle B.}$ Cuando no se cumple el criterio de Nyquist ${\displaystyle (}$por ejemplo, ${\displaystyle B>{\tfrac {1}{2}}f_{s})}$, se produce una condición llamada solapamiento espectral, que genera diferencias inevitables entre ${\displaystyle x(t)}$ y una función reconstruida con menor ancho de banda. En la mayoría de los casos, estas diferencias se consideran distorsión.

La figura 3 representa un tipo de función llamada banda base o de paso bajo, porque su rango de energía significativa en frecuencias positivas es [0, B). Cuando en cambio el rango de frecuencias es (A, A+B), para algún A > B, se denomina paso banda, y un deseo común (por diversas razones) es convertirla a banda base. Una forma de lograrlo es mediante mezcla de frecuencias (heterodino) para bajar la función de banda pasante al rango (0, B). Una de las posibles razones es reducir la tasa de Nyquist para un almacenamiento más eficiente. Resulta que se puede obtener el mismo resultado directamente muestreando la función de banda pasante a una tasa sub-Nyquist que sea el menor submúltiplo entero de la frecuencia A que cumpla el criterio de Nyquist de banda base: ${\displaystyle f_{s}>2B}$. Para una discusión más general, véase submuestreo.

Mucho antes de que el nombre de Harry Nyquist se asociara con el muestreo, el término «tasa de Nyquist» se utilizaba de forma diferente, con un significado más cercano al que realmente estudió Nyquist. Citando el libro de 1953 de Harold Stephen Black Modulation Theory, en la sección Nyquist Interval del capítulo inicial Historical Background:

«Si el rango esencial de frecuencias está limitado a B ciclos por segundo, Nyquist dio 2B como el número máximo de elementos de código por segundo que podrían resolverse sin ambigüedad, asumiendo que la interferencia máxima es menor que medio paso cuántico. Esta tasa se conoce generalmente como señalización a la tasa de Nyquist y 1/(2B) se ha denominado intervalo de Nyquist.» (énfasis añadido; cursiva del original)

Aquí B se refiere al ancho de banda de un solo lado (relacionado con el criterio de Nyquist para ISI), en lugar del ancho de banda total considerado en usos posteriores.

Según el OED, la afirmación de Black sobre 2B puede ser el origen del término «tasa de Nyquist».^[3]

El famoso artículo de Nyquist de 1928 fue un estudio sobre cuántos pulsos (elementos de código) podían transmitirse por segundo y recuperarse a través de un canal de ancho de banda limitado.^[4] «Señalización a la tasa de Nyquist» significaba enviar tantos pulsos de código a través de un canal telegráfico como permitiera su ancho de banda. Shannon utilizó el enfoque de Nyquist cuando demostró el teorema de muestreo en 1948, pero Nyquist no trabajó directamente en muestreo.

El capítulo posterior de Black sobre «The Sampling Principle» otorga a Nyquist parte del crédito por las matemáticas relevantes:

«Nyquist (1928) señaló que, si la función está sustancialmente limitada al intervalo de tiempo T, 2BT valores son suficientes para especificar la función, basando sus conclusiones en una representación en serie de Fourier de la función sobre el intervalo de tiempo T.»