Tensotorio

Dada una secuencia de tensores ${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots ,T_{n}}$, el tensotorio se define como el producto tensorial iterado:

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}=T_{1}\otimes T_{2}\otimes \dots \otimes T_{n}}$

Aquí, ${\displaystyle \otimes }$ denota el operador de producto tensorial, y el resultado es un tensor de dimensiones superiores cuyo rango es la suma de los rangos de los tensores individuales.

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• Asociatividad: El producto tensorial es asociativo:

${\displaystyle (T_{1}\otimes T_{2})\otimes T_{3}=T_{1}\otimes (T_{2}\otimes T_{3})}$ Por lo tanto, el orden de las operaciones en un tensotorio no afecta el resultado.

• No conmutatividad: El producto tensorial generalmente no es conmutativo:

${\displaystyle T_{1}\otimes T_{2}\neq T_{2}\otimes T_{1}}$

• Linealidad: El tensotorio es lineal con respecto a la adición de tensores:

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}(T_{i}+T'_{i})=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}+\bigotimes _{i=1}^{n}T'_{i}}$

• Dimensionalidad: Si ${\displaystyle T_{i}}$ son tensores de dimensiones ${\displaystyle d_{i}}$, el tensor resultante del tensotorio tendrá una dimensión igual al producto de ${\displaystyle d_{i}}$:

${\displaystyle {\text{dim}}(\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i})=\prod _{i=1}^{n}{\text{dim}}(T_{i})}$

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Consideremos dos vectores ${\displaystyle {\vec {v}}=[v_{1},v_{2}]}$ y ${\displaystyle {\vec {w}}=[w_{1},w_{2}]}$. Su producto tensorial es:

${\displaystyle {\vec {v}}\otimes {\vec {w}}={\begin{bmatrix}v_{1}\cdot w_{1}&v_{1}\cdot w_{2}\\v_{2}\cdot w_{1}&v_{2}\cdot w_{2}\end{bmatrix}}}$

Extendiendo esto a un tensotorio de tres vectores ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}},{\vec {u}}}$, calculamos:

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{3}{\vec {v}}_{i}={\vec {v}}\otimes {\vec {w}}\otimes {\vec {u}}}$

lo que da como resultado un tensor tridimensional.

Dados dos matrices ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$ y ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}}$, su producto tensorial es:

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a\cdot B&b\cdot B\\c\cdot B&d\cdot B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\cdot e&a\cdot f&b\cdot e&b\cdot f\\a\cdot g&a\cdot h&b\cdot g&b\cdot h\\c\cdot e&c\cdot f&d\cdot e&d\cdot f\\c\cdot g&c\cdot h&d\cdot g&d\cdot h\end{bmatrix}}}$

Un tensotorio sobre múltiples matrices ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ sigue este mismo patrón, produciendo una estructura de dimensiones superiores.