Teorema de Ehrenfest

Sea A un operador lineal, la derivada temporal de su valor esperado será:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \Psi |A\Psi \rangle ={\frac {d}{dt}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\Psi ^{*}A\Psi d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}A\Psi d^{3}\mathbf {r} +\int _{\mathbb {R} ^{3}}\Psi ^{*}A{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}d^{3}\mathbf {r} +\int _{\mathbb {R} ^{3}}\Psi ^{*}{\frac {\partial A}{\partial t}}\Psi d^{3}\mathbf {r} =\left\langle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}|A\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi |A{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right\rangle +\left\langle \Psi |{\frac {\partial A}{\partial t}}\Psi \right\rangle }$

Dado que la función de ondas cumple la ecuación de Schrödinger se tiene que:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=H\Psi }$

Sustituyendo la derivada temporal por la acción del operador hamiltoniano y empleando la hermiticidad de este último tenemos que:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \Psi |A\Psi \rangle -\left\langle \Psi |{\frac {\partial A}{\partial t}}\Psi \right\rangle =\left\langle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}|A\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi |A{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle H\Psi |A\Psi \rangle -{\frac {i}{\hbar }}\langle \Psi |AH\Psi \rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\langle \Psi |[A,H]\Psi \rangle }$

O expresado en forma más compacta:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$

Tomando A=x y teniendo en cuenta que:

${\displaystyle [x,H]=\left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V\right]=\left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]={\frac {ip\hbar }{m}}}$

Se tiene que:

${\displaystyle {\frac {d\langle x\rangle }{dt}}={\frac {\langle p\rangle }{m}}}$

Tomando A=p y teniendo en cuenta que:

${\displaystyle [p,H]=\left[p,{\frac {p^{2}}{2m}}+V\right]=[p,V]=-i\hbar \nabla V}$

se tiene que:

${\displaystyle {\frac {d\langle p\rangle }{dt}}=-\langle \nabla V\rangle =\langle F\rangle }$

Si el operador hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo puede tomarse A=H y se tiene que:

${\displaystyle {\frac {d\langle H\rangle }{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}\langle [H,H]\rangle =0}$

Identificando el hamiltoniano con la energía del sistema se tiene:

${\displaystyle \langle H\rangle =E=\mathrm {cte} }$

Es decir, cuando el hamiltoniano del sistema no depende explícitamente del tiempo, el valor esperado del hamiltoniano se conserva.

• Paul und Tatjana Ehrenfest: Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik. In: Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. 1909, 1911 (online (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).).
• Paul Ehrenfest: Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle? In: Annalen der Physik. Serie 4, Band 36, Nr. 11, 1911, S. 91–118.