Teorema de Malus-Dupin

Si sobre cada rayo emitido por un foco recorremos caminos ópticos iguales, entonces los puntos que los delimitan forman una superficie normal a todos los rayos. Denominamos a dicha superficie frente de ondas. Coincide con el frente de onda dado por la teoría oscilatoria. Al deducirse del principio de Fermat, es válido a pesar del número de reflexiones o refracciones que pueda sufrir el rayo antes de llegar a su destino.

La demostración se realiza a partir del principio de Fermat.

Tomamos dos trayectorias distintas separadas infinitesimalmente, ${\displaystyle [AB]}$ y ${\displaystyle [AB']}$, donde ${\displaystyle A}$ es el foco y ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle B'}$ son los puntos de llegada separados por caminos ópticos iguales. Entonces definimos los respectivos caminos ópticos como:

${\displaystyle L_{AB}=\int _{A}^{B}n({\textbf {r}})ds}$

${\displaystyle L_{AB'}=\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}}')ds'}$

Siendo ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ y ${\displaystyle {\textbf {r}}'}$ los respectivos vectores de posición, ${\displaystyle ds}$ y ${\displaystyle ds'}$ los respectivos diferenciales de espacio y ${\displaystyle n({\textbf {r}})}$ el índice de refracción.

Admitimos que el índice de refracción es derivable.

Emplearemos:

Desarrollo en serie de Taylor de primer orden: ${\displaystyle f({\textbf {r}})=f({\textbf {r}}_{0})+{\vec {\nabla }}f({\textbf {r}}_{0})\cdot ({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{0})}$

Ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso (deducida a partir del principio de Fermat):${\displaystyle {d \over ds}(n{\textbf {u}})={\vec {\nabla }}n}$ de lo que ${\displaystyle (n{\textbf {u}})={\vec {\nabla }}nds}$.

La relación ${\displaystyle {\textbf {r}}'={\textbf {r}}+\varepsilon {\textbf {b}}}$ de la cual ${\displaystyle {\textbf {dr}}'={\textbf {dr}}+\varepsilon {\textbf {db}}}$.

Admitimos que el índice de refracción admite un desarrollo en serie de Taylor de orden 1. Entonces se obtiene que

${\displaystyle n({\textbf {r}}')=n({\textbf {r}})+{\vec {\nabla }}n({\textbf {r}})\cdot ({\textbf {r}}'-{\textbf {r}})=n({\textbf {r}})+{\vec {\nabla }}n({\textbf {r}})\cdot \varepsilon {\textbf {b}}}$.

Por otro haremos lo mismo con el módulo del vector posición:

${\displaystyle \mid {\textbf {r}}'\mid =\mid {\textbf {r}}\mid +{\vec {\nabla }}\mid {\textbf {r}}\mid \cdot ({\textbf {r}}'-{\textbf {r}})=\mid {\textbf {r}}\mid +{{\partial } \over {\partial r}}r{\hat {u}}_{r}\cdot ({\textbf {r}}'-{\textbf {r}})=\mid {\textbf {r}}\mid +{\textbf {u}}\cdot ({\textbf {r}}'-{\textbf {r}})=\mid {\textbf {r}}\mid +{\textbf {u}}\cdot {\textbf {r}}'-{\textbf {u}}\cdot {\textbf {r}}=\mid {\textbf {r}}\mid +{\textbf {u}}\cdot {\textbf {r}}'-\mid {\textbf {r}}\mid ={\textbf {u}}\cdot {\textbf {r}}'}$.

De modo que:

${\displaystyle ds'=\mid {\textbf {dr'}}\mid ={\textbf {u}}\cdot {\textbf {dr}}'={\textbf {u}}\cdot {\textbf {dr}}+{\textbf {u}}\cdot \varepsilon {\textbf {db}}=ds+\varepsilon {\textbf {u}}\cdot {\textbf {db}}}$.

Se reemplaza en el camino óptico:

${\displaystyle L_{B'}=\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}}')ds'=\int _{A}^{B'}[n({\textbf {r}})+{\vec {\nabla }}n\cdot \varepsilon {\textbf {b}}](ds+\varepsilon {\textbf {u}}\cdot {\textbf {db}})}$

${\displaystyle L_{B'}=\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})ds+\int _{A}^{B'}{\vec {\nabla }}n\cdot \varepsilon {\textbf {db}}+\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})\varepsilon {\textbf {u}}\cdot {\textbf {db}}+\int _{A}^{B'}{\vec {\nabla }}n\cdot \varepsilon {\textbf {b}}\varepsilon {\textbf {u}}\cdot {\textbf {db}}}$

Eliminamos los elementos de orden de ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$:

${\displaystyle L_{B'}=\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})ds+\int _{A}^{B'}{\vec {\nabla }}n\cdot \varepsilon {\textbf {db}}+\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})\varepsilon {\textbf {u}}\cdot {\textbf {db}}}$

Calculamos ${\displaystyle \Delta L}$:

${\displaystyle \Delta L=\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})ds+\int _{A}^{B'}{\vec {\nabla }}n\cdot \varepsilon {\textbf {b}}ds+\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})\varepsilon {\textbf {u}}\cdot {\textbf {db}}-\int _{A}^{B}n({\textbf {r}})ds}$

Factorizamos los términos por potencias de ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle \Delta L=\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})ds-\int _{A}^{B}n({\textbf {r}})ds+\varepsilon \left[\int _{A}^{B'}{\vec {\nabla }}n\cdot {\textbf {b}}ds+\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}}){\textbf {u}}\cdot {\textbf {db}}\right]}$

Por la ecuación de las trayectorias tenemos que ${\displaystyle d(n{\textbf {u}}\cdot {\textbf {b}})=d(n{\textbf {u}})\cdot {\textbf {b}}+n{\textbf {u}}\cdot {\textbf {db}}={\vec {\nabla }}n\cdot {\textbf {b}}ds+n{\textbf {u}}\cdot {\textbf {db}}}$ de modo que:

${\displaystyle \Delta L=\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})ds-\int _{A}^{B}n({\textbf {r}})ds+\varepsilon \left[\int _{A}^{B'}d(n{\textbf {b}}\cdot {\textbf {u}})\right]}$

Si suponemos que hemos escogido ${\displaystyle B\equiv B'}$ entonces:

${\displaystyle \Delta L=\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})ds-\int _{A}^{B'}n({\textbf {r}})ds+\varepsilon \left[\int _{A}^{B'}d(n{\textbf {b}}\cdot {\textbf {u}})\right]=0}$

${\displaystyle \Delta L=+\varepsilon \left[\int _{A}^{B'}d(n{\textbf {b}}\cdot {\textbf {u}})\right]=0}$

Por lo que:

${\displaystyle \int _{A}^{B'}d(n{\textbf {b}}\cdot {\textbf {u}})=0}$

${\displaystyle n({\textbf {r}}_{B'}){\textbf {b}}({\textbf {r}}_{B'})\cdot {\textbf {u}}({\textbf {r}}_{B'})-n({\textbf {r}}_{A}){\textbf {b}}({\textbf {r}}_{A})\cdot {\textbf {u}}({\textbf {r}}_{A})=0}$

Como el punto A es el foco la separación es siempre nula, en consecuencia:

${\displaystyle n({\textbf {r}}_{B'}){\textbf {b}}({\textbf {r}}_{B'})\cdot {\textbf {u}}({\textbf {r}}_{B'})=0}$

${\displaystyle {\textbf {b}}({\textbf {r}}_{B'})\cdot {\textbf {u}}({\textbf {r}}_{B'})=0}$

${\displaystyle {\textbf {b}}({\textbf {r}}_{B'})\perp {\textbf {u}}({\textbf {r}}_{B'})}$

Como B' es un punto arbitrario se tiene que ${\displaystyle {\textbf {b}}({\textbf {r}})\perp {\textbf {u}}({\textbf {r}})}$.

Teníamos que ${\displaystyle {\textbf {r}}'={\textbf {r}}+\varepsilon {\textbf {b}}}$, por lo que ${\displaystyle \varepsilon {\textbf {b}}({\textbf {r}})}$ une los puntos de la superficie. De lo que la superficie formada es ortogonal a cada rayo. Podemos justificar que los puntos forman una superficie por continuidad.