Teorema de Robbins

Una función f es Riemann super-integrable en un intervalo [a, b] si y sólo si es continua en dicho intervalo.

Una función real f es Riemann super-integrable en un intervalo [a, b] si existe un número I tal que para toda ε>0 y C>0, existe δ>0 tal que

${\displaystyle \left|I-\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})\right|<\varepsilon }$

para cualquier elección de puntos ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ y ${\displaystyle \xi _{i},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}}$ en el intervalo [a, b] que satisfagan

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}-x_{i-1}|\leq C}$,

en donde ${\displaystyle x_{0}=a,x_{n}=b}$, ${\displaystyle 0<|x_{i}-x_{i-1}|<\delta }$ y cada ${\displaystyle \xi _{i}}$ está en el intervalo con puntos extremos ${\displaystyle x_{i},x_{i+1}}$ (observando que los puntos no necesariamente están ordenados).