Teorema de dilatación de Naimark

Sea X un espacio compacto de Hausdorff, H un espacio de Hilbert y L(H) el espacio de Banach de operadores acotados en H. Un mapeo E del álgebra σ de Borel en X a ${\displaystyle L(H)}$ se denomina medida valorada por el operador si es débilmente aditiva contablemente, es decir, para cualquier secuencia disjunta de conjuntos de Borel ${\displaystyle \{B_{i}\}}$, tenemos

${\displaystyle \langle E(\cup _{i}B_{i})x,y\rangle =\sum _{i}\langle E(B_{i})x,y\rangle }$

para todo x e y. Alguna terminología para describir tales medidas es:

• E se llama regular si la medida con valor escalar

${\displaystyle B\rightarrow \langle E(B)x,y\rangle }$

es una medida de Borel regular, lo que significa que todos los conjuntos compactos tienen una variación total finita y la medida de un conjunto puede aproximarse a las de los conjuntos abiertos.

• E se llama acotada si ${\displaystyle |E|=\sup _{B}\|E(B)\|<\infty }$.
• E se llama positivo si E(B) es un operador positivo para todo B.
• E se llama autoadjunto si E(B) es autoadjunto para todo B.
• E se llama espectral si es autoadjunto y ${\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})E(B_{2})}$ para todos ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$.

Supondremos en todo momento que E es regular.

Sea C(X) el álgebra abeliana C* de funciones continuas en X. Si E es regular y acotado, induce un mapa ${\displaystyle \Phi _{E}:C(X)\rightarrow L(H)}$ de la manera obvia:

${\displaystyle \langle \Phi _{E}(f)h_{1},h_{2}\rangle =\int _{X}f(x)\langle E(dx)h_{1},h_{2}\rangle }$

La acotación de E implica, para todo h de norma unitaria

${\displaystyle \langle \Phi _{E}(f)h,h\rangle =\int _{X}f(x)\langle E(dx)h,h\rangle \leq \|f\|_{\infty }\cdot |E|.}$

Estos espectáculos ${\displaystyle \;\Phi _{E}(f)}$ es un operador acotado para todo f, y ${\displaystyle \Phi _{E}}$ En sí mismo también es un mapa lineal acotado.

Las propiedades de ${\displaystyle \Phi _{E}}$ están directamente relacionados con los de E:

• Si E es positivo, entonces ${\displaystyle \Phi _{E}}$, visto como un mapa entre álgebras C*, también es positivo.
• ${\displaystyle \Phi _{E}}$ es un homomorfismo si, por definición, para todo f continuo en X y ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$,

${\displaystyle \langle \Phi _{E}(fg)h_{1},h_{2}\rangle =\int _{X}f(x)\cdot g(x)\;\langle E(dx)h_{1},h_{2}\rangle =\langle \Phi _{E}(f)\Phi _{E}(g)h_{1},h_{2}\rangle .}$

Tome f y g como funciones indicadoras de conjuntos de Borel y vemos que ${\displaystyle \Phi _{E}}$ es un homomorfismo si y sólo si E es espectral.

• De manera similar, decir ${\displaystyle \Phi _{E}}$ respeta el * medio de funcionamiento

${\displaystyle \langle \Phi _{E}({\bar {f}})h_{1},h_{2}\rangle =\langle \Phi _{E}(f)^{*}h_{1},h_{2}\rangle .}$

El LHS es

${\displaystyle \int _{X}{\bar {f}}\;\langle E(dx)h_{1},h_{2}\rangle ,}$

y el RHS es

${\displaystyle \langle h_{1},\Phi _{E}(f)h_{2}\rangle ={\overline {\langle \Phi _{E}(f)h_{2},h_{1}\rangle }}=\int _{X}{\bar {f}}(x)\;{\overline {\langle E(dx)h_{2},h_{1}\rangle }}=\int _{X}{\bar {f}}(x)\;\langle h_{1},E(dx)h_{2}\rangle }$

Entonces, tomando una secuencia de funciones continuas que aumentan hasta la función indicadora de B, obtenemos ${\displaystyle \langle E(B)h_{1},h_{2}\rangle =\langle h_{1},E(B)h_{2}\rangle }$, es decir, E (B) es autoadjunto.

• Combinando los dos hechos anteriores se llega a la conclusión de que ${\displaystyle \Phi _{E}}$ es un * -homomorfismo si y sólo si E es espectral y autoadjunto. (Cuando E es espectral y autoadjunto, se dice que E es una medida valorada por proyección o PVM).

El teorema dice lo siguiente: Sea E una medida positiva con valor de L(H) en X. Existe un espacio de Hilbert K, un operador acotado ${\displaystyle V:K\rightarrow H}$, y una medida espectral autoadjunta con valor de L(K) en X, F, tal que

${\displaystyle \;E(B)=VF(B)V^{*}.}$

Esbocemos ahora la prueba. El argumento pasa E al mapa inducido. ${\displaystyle \Phi _{E}}$ y utiliza el teorema de dilatación de Stinespring. Como E es positivo, también lo es ${\displaystyle \Phi _{E}}$ como un mapa entre C*-álgebras, como se explicó anteriormente. Además, debido a que el dominio de ${\displaystyle \Phi _{E}}$, C(X), es un álgebra C* abeliana, tenemos que ${\displaystyle \Phi _{E}}$ es completamente positivo. Según el resultado de Stinespring, existe un espacio de Hilbert K, un *-homomorfismo ${\displaystyle \pi :C(X)\rightarrow L(K)}$ y operador ${\displaystyle V:K\rightarrow H}$ tal que

${\displaystyle \;\Phi _{E}(f)=V\pi (f)V^{*}.}$

Dado que π es un * -homomorfismo, su correspondiente medida F valorada por el operador es espectral y autoadjunta. Se ve fácilmente que F tiene las propiedades deseadas.