Teorema de intercambio de Steinitz

Como, por hipótesis, ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle W}$ son finitos, podemos definir ${\displaystyle m:=\left\vert U\right\vert }$ y ${\displaystyle n:=\left\vert W\right\vert }$. Por tanto, podemos suponer que ${\displaystyle U=\{u_{1},...,u_{m}\}}$ y ${\displaystyle W=\{w_{1},...,w_{n}\}}$. Para demostrar el teorema, procedemos por inducción sobre ${\displaystyle m}$:

Caso base (${\displaystyle m=0}$):

Vemos que (1) es cierto, pues ${\displaystyle \left\vert W\right\vert \geq 0=m=\left\vert U\right\vert }$. Además, (2) es cierto porque podemos tomar ${\displaystyle W'=W}$ y tenemos que

• ${\displaystyle \left\vert W'\right\vert =\left\vert W\right\vert =\left\vert W\right\vert -0=\left\vert W\right\vert -m=\left\vert W\right\vert -\left\vert U\right\vert }$,
• ${\displaystyle U\cup W'=\emptyset \cup W'=W'=W}$, que es, por hipótesis, generador de ${\displaystyle V}$.

Paso inductivo:

Para el paso inductivo vamos a suponer que el enunciado del teorema es cierto para ${\displaystyle m-1}$ y vamos a ver que lo es para ${\displaystyle m}$. Por tanto, tomamos ${\displaystyle U=\{u_{1},...,u_{m}\}}$, que es linealmente independiente y vamos a demostrar lo que dice el teorema, suponiendo, por hipótesis de inducción, que podemos afirmar lo que dice este para conjuntos linealmente independientes de cardinal ${\displaystyle m-1}$.

Así, tenemos que ${\displaystyle U=\{u_{1},...,u_{m}\}}$ es linealmente independiente y entonces ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{m-1}\}\subset U}$ es linealmente independiente. El cardinal de este conjunto es ${\displaystyle m-1}$, por lo que podemos aplicarle la hipótesis de inducción. Haciéndolo obtenemos que

(a) ${\displaystyle m-1\leq n}$

(b) ${\displaystyle \exists W''\subseteq W}$ de cardinal ${\displaystyle \left\vert W''\right\vert =n-(m-1)=n-m+1}$ tal que ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{m-1}\}\cup W''}$ genera ${\displaystyle V}$.

Por (b), tenemos que ${\displaystyle W''}$ consta de ${\displaystyle n-m+1}$ vectores de ${\displaystyle W}$. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que estos vectores son los últimos de la lista de elementos de ${\displaystyle W}$, pues si no lo fueran, podríamos reordenar esa lista para ponerlos en último lugar. Así pues, consideramos ${\displaystyle W''=\{w_{m},...,w_{n}\}}$. Por lo tanto, (b) se puede reescribir como ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{m-1},w_{m},...,w_{n}\}}$ y genera a ${\displaystyle V}$.

Consideremos ahora el vector ${\displaystyle u_{m}\in U\subseteq V}$. Como el anterior conjunto es generador de ${\displaystyle V}$, existen ciertos ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{m-1},\beta _{m},...,\beta _{n}\in \mathbb {K} }$ tales que

${\displaystyle u_{m}=\alpha _{1}u_{1}+...+\alpha _{m-1}u_{m-1}+\beta _{m}w_{m}+...+\beta _{n}w_{n}}$ ${\displaystyle (*)}$

Entonces tenemos que ${\displaystyle \left\vert W''\right\vert \geq 1}$, pues si fuera vacío tendríamos que ${\displaystyle u_{m}=\alpha _{1}u_{1}+...+\alpha _{m-1}u_{m-1}}$ y entonces ${\displaystyle U}$ no sería linealmente independiente, con lo que llegaríamos a contradicción. Por tanto, obtenemos de la relación de cardinales en (b) que ${\displaystyle n-m+1=}$${\displaystyle \left\vert W''\right\vert \geq 1\Rightarrow n+1\geq m+1\Rightarrow n\geq m\Rightarrow \left\vert U\right\vert \leq \left\vert W\right\vert }$, con lo que (1) queda ya demostrado.

Sólo nos queda, pues, demostrar (2). Con el mismo razonamiento de antes, tenemos que ${\displaystyle \beta _{i}\neq 0}$ para algún ${\displaystyle i=m,...,n}$, pues si no tendríamos que ${\displaystyle u_{m}=\alpha _{1}u_{1}+...+\alpha _{m-1}u_{m-1}}$ y llegaríamos a contradicción igual que antes. Como algún ${\displaystyle \beta _{i}\neq 0}$, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que ${\displaystyle \beta _{m}\neq 0}$, pues si fuera otro coeficiente el ${\displaystyle \beta _{i}\neq 0}$ podríamos reordenar los términos. Si denotamos ${\displaystyle [A]}$ el subespacio generado por un conjunto de vectores ${\displaystyle A}$, vamos a ver que ${\displaystyle [U\cup \{w_{m+1},...,w_{n}\}]=[u_{1},...,u_{m-1},u_{m},w_{m+1},...,w_{n}]=[u_{1},...,u_{m-1},w_{m},w_{m+1},...,w_{n}]=\{u_{1},...,u_{m-1}\}\cup W''=V}$.

La primera y la penúltima igualdad se dan por definición de ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle W''}$, respectivamente, y la última por (b). Sólo tenemos que probar, pues, la segunda.

Por ${\displaystyle (*)}$ tenemos que ${\displaystyle u_{m}}$ es combinación lineal de ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{m-1},w_{m},...,w_{n}\}}$, por lo que ${\displaystyle [u_{1},...,u_{m-1},u_{m},w_{m},w_{m+1},...,w_{n}]=[u_{1},...,u_{m-1},w_{m},w_{m+1},...,w_{n}]}$.

Por otro lado, como ${\displaystyle \beta _{m}\neq 0}$, en ${\displaystyle (*)}$ podemos despejar ${\displaystyle w_{m}}$ como ${\displaystyle w_{m}={\frac {1}{\beta _{m}}}u_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}{{\frac {\alpha _{i}}{\beta _{m}}}u_{i}}-\sum _{i=m+1}^{n}{{\frac {\beta _{i}}{\beta _{m}}}w_{i}}}$, por lo que ${\displaystyle w_{m}}$ es combinación lineal de ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{m-1},u_{m},w_{m+1},...,w_{n}\}}$, de lo que obtenemos que ${\displaystyle [u_{1},...,u_{m-1},u_{m},w_{m},w_{m+1},...,w_{n}]=[u_{1},...,u_{m-1},u_{m},w_{m+1},...,w_{n}]}$. Por lo tanto,

${\displaystyle [u_{1},...,u_{m-1},u_{m},w_{m+1},...,w_{n}]=[u_{1},...,u_{m-1},u_{m},w_{m},w_{m+1},...,w_{n}]=[u_{1},...,u_{m-1},w_{m},w_{m+1},...,w_{n}]}$, la igualdad que quedaba por probar.

Así pues, tenemos que ${\displaystyle [U\cup \{w_{m+1},...,w_{n}\}]=V}$, y si tomamos ${\displaystyle W'=\{w_{m+1},...,w_{n}\}}$, tenemos que ${\displaystyle W'\subseteq W}$, ${\displaystyle \left\vert W'\right\vert =n-m=\left\vert W\right\vert -\left\vert U\right\vert }$ y ${\displaystyle U\cup W'}$ genera a ${\displaystyle V}$, es decir, hemos demostrado (2), y con esto concluye la demostración. ${\displaystyle \square }$

Como consecuencia del teorema de intercambio de Steinitz se obtienen los siguientes resultados:

Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen igual número de elementos.

Supongamos que tenemos dos bases ${\displaystyle B_{1}}$ y ${\displaystyle B_{2}}$ de cierto espacio vectorial ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle B_{1}}$ es una base y, en particular, es un conjunto generador de ${\displaystyle E}$. ${\displaystyle B_{2}}$ es también una base, y en particular, es un conjunto linealmente independiente. Aplicando el teorema de intercambio de Steinitz obtenemos que ${\displaystyle \vert B_{1}\vert \geq \vert B_{2}\vert }$. Simétricamente, ${\displaystyle B_{2}}$ es generador de ${\displaystyle E}$ y ${\displaystyle B_{1}}$ es linealmente independiente, luego ${\displaystyle \vert B_{2}\vert \geq \vert B_{1}\vert }$. De las dos desigualdades anteriores obtenemos que ${\displaystyle \vert B_{1}\vert =\vert B_{2}\vert .\quad \square }$

Este resultado motiva la definición de dimensión de un espacio vectorial como la cantidad de elementos que tiene cualquier base suya que consideremos.

Dado un espacio vectorial ${\displaystyle E}$ de dimensión ${\displaystyle n}$ y un conjunto de ${\displaystyle n}$ vectores ${\displaystyle S\subseteq E}$, (1) ${\displaystyle S}$ genera a ${\displaystyle E\Rightarrow S}$ es base de ${\displaystyle E}$ (2) ${\displaystyle S}$ linealmente independiente ${\displaystyle \Rightarrow S}$ es base de ${\displaystyle E}$

(1) Por hipótesis, ${\displaystyle S}$ es generador, así que ${\displaystyle S}$ contiene una base. Pero la dimensión de ${\displaystyle E}$ es ${\displaystyle n}$, así que todas sus bases tienen ${\displaystyle n}$ elementos. Como ${\displaystyle S}$ tiene por hipótesis ${\displaystyle n}$ elementos, la base que ${\displaystyle S}$ contiene es necesariamente ${\displaystyle S}$, de forma que ${\displaystyle S}$ es una base de ${\displaystyle E}$. (2) Consideramos ${\displaystyle B}$ una base de ${\displaystyle E}$. Por el primer corolario, ${\displaystyle \vert B\vert =n}$. En particular, ${\displaystyle B}$ es generador de ${\displaystyle E}$. Por el teorema de Steinitz, existe un subconjunto de ${\displaystyle A\subseteq B}$ de tamaño ${\displaystyle \vert A\vert =\vert B\vert -\vert S\vert =n-n=0}$ tal que ${\displaystyle S\cup A}$ es generador. Pero como ${\displaystyle \vert A\vert =0}$, necesariamente ${\displaystyle A}$ es el conjunto vacío, y ${\displaystyle S\cup A=S}$ es generador. Como, por hipótesis, ${\displaystyle S}$ también es linealmente independiente, ${\displaystyle S}$ es una base. ${\displaystyle \square }$

Por lo tanto, dado un subconjunto ${\displaystyle S}$ de cardinal igual a la dimensión del espacio vectorial al que pertenece, solo hace falta comprobar una de las dos propiedades que tienen por definición las bases para demostrar que ${\displaystyle S}$ es una base.

• Julio R. Bastida, Field extensions and Galois Theory, Addison–Wesley Publishing Company (1984).