Teorema de la base de Hilbert

Sea ${\displaystyle A}$ un anillo conmutativo dotado con la unidad (la unidad puede ser 0, entonces ${\displaystyle A={0}}$). Se dice que ${\displaystyle A}$ es noetheriano si todo ideal de ${\displaystyle A}$ está finitamente generado. Es fácil probar que cuando se cumplen las tres siguientes condiciones los dos enunciados equivalen entre sí:

1. ${\displaystyle A}$ es noetheriano.
2. Todo conjunto no vacío de ideales de ${\displaystyle A}$ admite un elemento maximal
3. ${\displaystyle A}$ cumple la condición de cadena ascendente (ACC o CCA):

Si

${\displaystyle I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots \subseteq I_{n}\subseteq \cdots }$

es una cadena de ideales, entonces existe ${\displaystyle N}$ tal que

${\displaystyle I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots }$.

Teorema. Si ${\displaystyle A}$ es noetheriano, entonces ${\displaystyle A[X]}$ es noetheriano.

Corolario. Si ${\displaystyle A}$ es noetheriano, entonces ${\displaystyle A[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ es noetheriano.

El corolario se obtiene aplicando el teorema de Hilbert con inducción sobre ${\displaystyle n}$.