Teorema de la media geométrica

Demostración del teorema:

Los triángulos ${\displaystyle \triangle ADC}$ y ${\displaystyle \triangle BCD}$ son semejantes, ya que:

• Considérense los triángulos ${\displaystyle \triangle ABC,\triangle ACD}$. Entonces se tiene que ${\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ }}$ y ${\displaystyle \angle BAC=\angle CAD}$, y por lo tanto, por el postulado AA, ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD}$
• Además, considérense los triángulos ${\displaystyle \triangle ABC,\triangle BCD}$. Aquí se tiene que ${\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ }}$ y ${\displaystyle \angle ABC=\angle CBD}$, y por lo tanto, por el postulado AA, entonces ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle BCD}$

Por lo tanto, ambos triángulos ${\displaystyle \triangle ACD}$ y ${\displaystyle \triangle BCD}$ son semejantes a ${\displaystyle \triangle ABC}$ y entre ellos, es decir ${\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD}$.

Debido a esta relación de semejanza, se obtiene la siguiente igualdad de razones, cuyo reordenamiento algebraico produce el teorema:

${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}$

Prueba recíproca:

Cuando se tiene un triángulo ${\displaystyle \triangle ABC}$ en el que ${\displaystyle h^{2}=pq}$, entonces es necesario demostrar que el ángulo en C es un ángulo recto. Dado que ${\displaystyle h^{2}=pq}$, también se tiene que ${\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}}$. Junto con la condición de que ${\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}$, entonces los triángulos ${\displaystyle \triangle ADC}$ y ${\displaystyle \triangle BDC}$ tienen un ángulo de igual tamaño y tienen pares de lados correspondientes con la misma proporción. Esto significa que los triángulos son semejantes, lo que produce:

${\displaystyle \angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\circ }}$

En la configuración del teorema de la media geométrica hay tres triángulos rectángulos ${\displaystyle \triangle ABC}$, ${\displaystyle \triangle ADC}$ y ${\displaystyle \triangle DBC}$, en el que el teorema de Pitágoras produce:

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-q^{2}}$, ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-p^{2}}$ y ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Sumando las dos primeras dos ecuaciones, y luego considerando la tercera, lleva a:

${\displaystyle 2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}=c^{2}-p^{2}-q^{2}=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq}$ .

Una división por dos finalmente produce la fórmula del teorema de la media geométrica.

Diseccionar el triángulo rectángulo a lo largo de su altura h produce dos triángulos semejantes (rojo y amarillo), que se pueden suplementar (cuadrado y rectángulo ambos de color verde) y organizar de dos formas alternativas, componiendo dos triángulos rectángulos de mayor tamaño, con lados perpendiculares de longitudes p+h y q+h en ambos casos. Una de estas disposiciones requiere un cuadrado (verde) de área h² para completarla, y la otra necesita un rectángulo (verde) de área pq. Como ambas disposiciones producen el mismo triángulo, las áreas del cuadrado y del rectángulo deben ser idénticas.

El cuadrado de la altitud se puede transformar en un rectángulo de igual área con lados p y q con la ayuda de tres aplicaciones de corte (las aplicaciones de corte preservan el área):

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: iconos de las matemáticas: una exploración de veinte imágenes clave . MAA 2011 ISBN 9780883853528, pp.   31–32 ( online copy, p. 31, en Google Libros )
• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Geometría elemental . AMS 2008, ISBN 9780821843475 , pág.   25 ( online copy, p. 25, en Google Libros )
• Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie . Springer, 2009, ISBN 9783834808561 , pp. 76-77 (alemán, online copy, p. 76, en Google Libros )
• Euclides : Elementos, libro II - prop. 14, libro VI - prop. 8, ( copia en línea )

• Geometric Mean en Cut-the-Knot